Modelos Matemáticos 2

Cómo traducir del español a las matemáticas

El mundo real

La mayoría de las preguntas de matemáticas que recibe un estudiante son claras, puras y simples.

Pero el mundo real es a menudo "desordenado": los números no siempre funcionan de forma exacta, tenemos que convertir a diferentes unidades, la realidad se interpone en el camino, y así sucesivamente.

En Modelos Matemáticos mostramos cómo formular y usar algunos modelos simples.

Aquí hay algunos más.

Ejemplo: crucero por el río

Ejemplo: un crucero por el río de 3 horas recorre 15 km río arriba y luego de regreso. El río tiene una corriente de 2 km por hora. ¿Cuál es la rapidez del barco y cuánto duró el viaje río arriba?

Hay dos rapideces en las que pensar: la rapidez que tiene el barco en el agua y la rapidez relativa a la tierra:

• Sea b = la rapidez del barco en el agua (km/h)
• Sea v = la rapidez relativa a la tierra (km/h)

Como el río fluye río abajo a 2 km/h:

• cuando va río arriba, v = b−2 (su rapidez se reduce en 2 km/h)
• cuando va río abajo, v = b+2 (su rapidez aumenta en 2 km/h)

Podemos convertir esas rapideces en tiempos usando:

tiempo = distancia / rapidez

(recorrer 8 km a 4 km/h toma 8/4 = 2 horas, ¿verdad?)

Y sabemos que el tiempo total es de 3 horas:

tiempo total = 3 horas = tiempo río arriba + tiempo río abajo

Pon todo eso junto:

tiempo total = 3 horas = 15/(b−2) + 15/(b+2)

Ahora usamos nuestras habilidades de álgebra para despejar "b". Empezamos con:

3 = 15/(b−2) + 15/(b+2)

Eliminamos las fracciones multiplicando todo por (b−2)(b+2):

3(b−2)(b+2) = 15(b+2) + 15(b−2)

Desarrollamos todo:

3(b²−4) = 15b+30 + 15b−30

Pasamos todo a la izquierda y simplificamos:

3b² − 30b − 12 = 0

¡Es una Ecuación Cuadrática! Y al resolverla obtenemos las soluciones:

b = −0.39 o 10.39 (a 2 decimales)

• b = −0.39 no tiene sentido para esta pregunta del mundo real,
• ¡pero b = 10.39 es perfecta!

Respuesta: Rapidez del barco = 10.39 km/h (a 2 decimales)

Y así, el viaje río arriba = 15 / (10.39−2) = 1.79 horas = 1 hora 47 min

Y el viaje río abajo = 15 / (10.39+2) = 1.21 horas = 1 hora 13 min

Ejemplo: mezclar soluciones

Se te ha pedido que proporciones 150 mL de ácido clorhídrico a una concentración del 12%

En el gabinete encuentras:

• una botella marcada con 10% HCl (10% de ácido clorhídrico)
• y otra botella marcada con 25% HCl (25% de ácido clorhídrico)

¿Cuántos mL de cada una deberías usar?

• a = cantidad de solución al 10%
• 150 − a = cantidad de solución al 25%

HCl total = HCl en la solución al 10% + HCl en la solución al 25%

Resuelve: 18 = 0.1a + 37.5 − 0.25a

Pasa las "a" a la izquierda y el resto a la derecha: 0.25a − 0.1a = 37.5 − 18

Simplifica: 0.15a = 19.5

Nota: tenemos una animación interactiva de mezclas que también se puede usar para resolver esto