Modelos Matemáticos 2
Cómo traducir del castellano/español a las matemáticas
El mundo real
La mayoría de las preguntas de matemáticas son claras, puras y simples.Pero el mundo real es a menudo "desordenado": hay hechos que se interponen en el camino, los números no siempre funcionan bien, tenemos que convertir las respuestas a diferentes unidades, etc.
En Modelos Matemáticos mostramos cómo hacer y usar algunos modelos simples. Aquí hay algunos más.
Ejemplo: un crucero por el río
Ejemplo: Un crucero por el río de 3 horas recorre 15 km río arriba y luego de regreso. El río tiene una corriente de 2 km por hora. ¿Cuál es la rapidez del barco y cuánto duró el viaje aguas arriba?
Hay dos rapideces para considerar: la rapidez que tiene el barco en el agua y la rapidez relativa a la tierra:
- Sea b = la rapidez del barco en el agua (km/h)
- Sea v = la rapidez relativa a la tierra (km/h)
Porque el río fluye río abajo a 2 km/h:
- cuando el barco va río arriba, v = b−2 (su rapidez se reduce 2 km/h)
- cuando el barco va río abajo, v = b+2 (su rapidez aumenta 2 km/h)
Podemos convertir esas rapideces en tiempos usando:
tiempo = distancia / rapidez
(moviéndose 8 km a 4 km/h toma 8/4 = 2 horas, ¿cierto?)
Y sabemos que el tiempo total es de 3 horas:
tiempo total = tiempo río arriba + tiempo río abajo = 3 horas
Pon todo eso junto:
tiempo total = 15/(b−2) + 15/(b+2) = 3 horas
Ahora usamos nuestras habilidades de álgebra para hallar "b".Primero, deshazte de las fracciones multiplicando por (b−2)(b+2):
3(b−2)(b+2) = 15(b+2) + 15(b-2)
Desarrolla todo:
3(b2−4)= 15b+30 + 15b-30
Trae todo a la izquierda y simplifica:
3b2 - 30b -12 = 0
¡Es una Ecuación Cuadrática! Al resolverla nos da las soluciones:
b = -0.39 ó 10.39 (a 2 decimales)
b =-0.39no tiene sentido para esta pregunta del mundo real, ¡pero b = 10.39 es perfecta!
Respuesta: Rapidez del barco = 10.39 km/h (a 2 decimales)
Y así, el viaje aguas arriba = 15 / (10.39−2) = 1.79 horas = 1 hora 47min
Y el viaje aguas abajo = 15 / (10.39+2) = 1.21 horas = 1 hora 13min
Ejemplo: soluciones de mezcla
Se te ha pedido que proporciones 150 ml de ácido clorhídrico a una concentración del 12%.
En el gabinete encontrarás:
- una botella marcada con 10% de HCl (10% de ácido clorhídrico)
- y otra botella marcada con 25% de HCl (25% de ácido clorhídrico)
¿Cuántos ml de cada uno debe usar?
- a = cantidad de solución al 10%
- 150 − a = cantidad de solución al 25%
HCl total = HCl en solución al 10% + HCl en solución al 25%
Resuelve: 18 = 0.1a + 37.5 − 0.25a
pasa las "a" a la izquierda y el resto a la derecha: 0.25a − 0.1a = 37.5−18
Simplifica: 0.15a = 19.5
Respuesta: 130ml de la solución al 10% y 20ml de la solución al 25%
Nota: tengo una "Animación Interactiva de Mezclas" que también habría servido para responder este ejemplo.