Modelos Matemáticos
Las matemáticas se pueden usar para "modelar", o representar, cómo funciona el mundo real.
Ejemplo: ¿cuánto espacio hay dentro de esta caja de cartón?
Conocemos tres medidas:
- l (longitud),
- p (profundidad), y
- a (altura),
y la fórmula para el volumen de un cuboide es:
Volumen = l × p × a
Entonces tenemos un modelo matemático (muy simple) del espacio en esa caja.
¿Preciso?
El modelo no es exactamente lo mismo que lo real.
En nuestro ejemplo, no pensamos en el grosor del cartón ni en muchas otras cosas del "mundo real".
Pero esperamos que sea lo suficientemente bueno como para ser útil.
Si se nos cobra por el volumen de la caja que enviamos, podemos tomar algunas medidas y saber cuánto pagar.
También puede ser útil al decidir qué caja comprar cuando necesitamos empacar cosas.
¡Así que el modelo es útil!
Pero tal vez necesitemos más precisión; podríamos tener que enviar cientos de cajas todos los días, y el grosor del cartón importa. Entonces, veamos si podemos mejorar el modelo:
El cartón tiene grosor "g" y medimos desde el exterior de la caja. ¿Cuánto espacio hay dentro?
Las medidas interiores se deben reducir por el grosor de cada lado:
- La longitud interior es l-2g
- La profundidad interior es p-2g,
- La altura interior es a-2g
y ahora la fórmula es:
Volumen interior = (l-2g) × (p-2g) × (a-2g)
Ahora tenemos un mejor modelo. Todavía no es perfecto (no consideramos el espacio desperdiciado por si no pudiéramos empacar las cosas de forma compacta y ordenada, y así sucesivamente), pero es mejor.
Entonces, un modelo no representa exactamente la realidad, pero debería ser lo suficientemente bueno como para ser útil.
Jugando con el modelo
Ahora que tenemos un modelo, podemos usarlo de diferentes maneras:
Alguien sugiere usar cartón de 4 mm... ¿cuánto mejor sería eso?
Comparemos los dos volúmenes:
- Volumen actual = (200-2×5) × (300-2×5) × (400-2×5) = 21,489,000 mm3
- Nuevo volumen = (200-2×4) × (300-2×4) × (400-2×4) = 21,977,088 mm3
Ese es un cambio de:
(21,977,088-21,489,000)/21,489,000 ≈ 2% más volumen
Entonces el modelo es útil. Nos permite saber que obtendremos un 2% más de espacio dentro de la caja (para las mismas medidas exteriores).
Pero todavía hay cosas del "mundo real" en las que pensar, como: "¿será lo suficientemente resistente?"
Pensando con claridad
¡Para establecer un modelo matemático también necesitamos pensar claramente sobre los datos!
Ejemplo: en nuestra calle hay el doble de perros que de gatos. ¿Cómo escribimos esto como una ecuación?
- Sea P = número de perros
- Sea G = número de gatos
Ahora... ¿es: 2P = G
o debería ser: P = 2G?
¡Piensa cuidadosamente ahora!
La respuesta correcta es P = 2G
(2P = G es un error común, ya que la pregunta dice "el doble... perros... gatos")
Aquí hay otro:
Ejemplo: eres el supervisor de trabajadores en un turno de 8 horas. Recientemente sus tiempos de descanso se redujeron en 10 minutos, pero la producción total no mejoró.
A primera vista no hay nada que modelar, porque no hubo cambios en la producción.
Pero espera un minuto... están trabajando 10 minutos más, pero producen la misma cantidad, ¡así que la producción por hora debe haber disminuido!
Supongamos que antes trabajaban 7 horas (420 minutos):
Cambio en la producción por hora = 410/420 = 0.976...
Lo cual es una reducción de más del 2%
Pero aún peor: las primeras horas del turno no se ven afectadas por el tiempo de descanso más corto, por lo que podría ser una reducción del 4 o 5% más adelante en el turno.
Podrías recomendar:
- mirar las tasas de producción de cada hora del turno
- probar diferentes tiempos de descanso para ver cómo afectan la producción
Un ejemplo más grande: el tamaño más económico
Bien, intentemos construir y usar un modelo matemático para resolver una pregunta del mundo real.
¡Tu empresa va a fabricar sus propias cajas!
Se ha decidido que la caja debe contener 0.02m3 (0.02 metros cúbicos, que equivalen a 20 litros) de tuercas y tornillos.
La caja debe tener una base cuadrada y doble grosor en la parte superior e inferior.
El cartón cuesta $0.30 por metro cuadrado.
Depende de ti decidir el tamaño más económico.
Paso uno: ¡Haz un dibujo!
¡Ayuda dibujar lo que estamos tratando de resolver!
La base es cuadrada, así que usaremos "l" para ambas longitudes
La caja tiene 4 lados y tapas y fondos dobles.
La forma de la caja podría cortarse así (pero probablemente sea más complicada):
Paso dos: Crea las fórmulas
Ignorando el grosor para este modelo:
Volumen = l × l × a = l2a
Y nos dicen que el volumen debe ser 0.02m3:
l2a = 0.02
Áreas:
Paso tres: Haz una fórmula única para el costo
Queremos una fórmula única para el costo:
Costo = $0.30 × Área de cartón
Costo = $0.30 × (4la + 4l2)
Y ese es el costo cuando conocemos la longitud y la altura.
Podría ser difícil trabajar con eso... una función con dos variables.
¡Pero podemos hacerlo más simple! Porque la longitud y la altura ya están relacionadas por el volumen:
Volumen = l2a = 0.02
... que se puede reorganizar a ...
a = 0.02/l2
... y eso se puede incluir en la fórmula del costo ...
Costo = $0.30 × (4l×0.02/l2 + 4l2)
Y ahora el costo está relacionado directamente con la longitud solamente.
Con una pequeña simplificación obtenemos:
Costo = $0.30 × (0.08/l + 4l2)
Paso cuatro: Grafica y encuentra el costo mínimo
¿Qué graficar? Bueno, la fórmula solo tiene sentido para longitudes mayores que cero, y resulta que para longitudes superiores a 0.5 el costo continúa aumentando.
Así que aquí hay una gráfica de esa fórmula de costo para longitudes entre 0.0 m y 0.55 m:
Gráfica de y= 0.3(0.08/x+4x2)
x es la longitud, y y es el costo
A simple vista, vemos que el costo alcanza un mínimo en aproximadamente (0.22, 0.17). En otras palabras:
- cuando la longitud es aproximadamente 0.22 m (valor de x),
- el costo mínimo es aproximadamente $0.17 por caja (valor de y)
De hecho, mirando la gráfica, la longitud podría estar en cualquier punto entre 0.20 y 0.24 sin afectar mucho el costo mínimo.
Paso cinco: Recomendaciones
Usando este modelo matemático ahora podemos recomendar:
- Longitud = 0.22 m
- Altura = 0.02/l2 = 0.02/0.222 = 0.413 m
- Costo = $0.30 × (0.08/l + 4l2) = $0.30 × (0.08/0.22 + 4×0.222) = $0.167
O alrededor de 16.7 centavos por caja
Pero cualquier longitud entre 0.20 m y 0.24 m está bien.
También podemos sugerir mejoras a este modelo:
- Incluir el costo de pegamento/grapas y ensamblaje
- Incluir el desperdicio al cortar la forma de la caja del cartón
- ¿Tiene esta caja una buena forma para empacar, manipular y almacenar?
- ¿Alguna otra idea?
Prediciendo el futuro
Los modelos matemáticos también se pueden usar para pronosticar el comportamiento futuro.
Ejemplo: una empresa de helados realiza un seguimiento de cuántos helados se venden en diferentes días.
Al comparar esto con el clima en cada día, pueden hacer un modelo matemático de ventas versus clima.
Luego pueden predecir las ventas futuras en función del pronóstico del tiempo y decidir cuántos helados necesitan hacer... ¡con anticipación!
Modelado por computadora
Los modelos matemáticos pueden volverse muy complejos y, por lo tanto, las reglas matemáticas a menudo se escriben en programas de computadora para hacer un modelo de computadora.
Juega con un sencillo modelo computacional de la reflexión dentro de una elipse
o con el péndulo simple o la animación de un péndulo doble.
Algunos ejemplos más complejos incluyen:
- Predicción del tiempo meteorológico
- Modelos económicos (predicción de tasas de interés, desempleo, y así sucesivamenteétera)
- Salud pública frente a enfermedades infecciosas
- Modelos de cómo se comportan las grandes estructuras bajo tensión (puentes, rascacielos, y así sucesivamenteétera)
- Muchos más...
¡Si te conviertes en un experto en alguno de esos, tendrás un trabajo de por vida!