Resolviendo Problemas Verbales

¡Con MUCHOS ejemplos!

En Álgebra a menudo tenemos preguntas verbales como:

Ejemplo: Samuel y Alex juegan tenis.

El fin de semana, Samuel jugó 4 juegos más que Alex, y juntos jugaron 12 juegos.

¿En cuántos juegos participó Alex?
¿Cómo los resolvemos?

El truco es dividir la solución en dos partes:

"Traduce" el Español en Álgebra.

Luego usa Álgebra para resolver.

Convirtiendo del español al álgebra

Para convertir el español en álgebra ayuda hacer lo siguiente:
¡También debes escribir lo que realmente se te pide, para saber a dónde vas y cuándo has llegado!

También busca palabras clave:

Cuando veas   Piensa en

Agrega, total, suma, aumento, más, combinado, juntos, más que

  +

Menos, menor, diferencia, disminuido, reducido, menos que

 

Multiplicado, veces, de, producto, factor

  ×

Dividido, cociente, por cada, entre, razón, proporción, porcentaje, tasa

  ÷
Maximiza o minimiza   fórmulas
geométricas
Tasa, rapidez, aceleración   fórmulas
de distancia
Cuánto tiempo, días, horas, minutos, segundos   tiempo

Pensando claramente

Algunos enunciados pueden ser complicados, lo que hace difícil pensar "de forma correcta", como por ejemplo:

$

Ejemplo: Samuel tiene 2 dólares menos que Alex. ¿Cómo escribimos esto como una ecuación?

Ahora...¿será que: S − 2 = A

o debería ser: S = A − 2

o tal vez: S = 2 − A ?

 

La respuesta correcta es S = A − 2

(S − 2 = A es un error común, ya que el enunciado dice "Samuel ... 2 menos ... Alex")

Ejemplo: en una calle hay el doble de perros que de gatos. ¿Cómo escribimos esto como una ecuación?

Ahora...¿será que: 2P = G

o debería ser: P = 2G ?

¡Piensa cuidadosamente!

La respuesta correcta es P = 2G

(2P = G es un error común, ya que la pregunta dice "doble... perros... gatos")

Ejemplos

Comencemos con un ejemplo realmente simple para ver cómo se hace:

Ejemplo: un jardín rectangular mide 12 m por 5 m, ¿cuál es su área?

 Convierte el español en álgebra:

Boceto:

área de un jardín 5m x 12m

Las letras que usaremos:

La fórmula para el Área de un Rectángulo: A = l × a

Se nos solicita el Área.

 

Solución:

A = l × a = 12 × 5 = 60 m2

El área es de 60 metros cuadrados.

Ahora intentemos el ejemplo de la parte superior de la página:

tenis

Ejemplo: Samuel y Alex juegan tenis. El fin de semana, Samuel jugó 4 partidos más que Alex, y juntos jugaron 12 partidos. ¿Cuántos partidos jugó Alex?

 

 Convierte el español en álgebra:

Las letras que usaremos:

Sabemos que Samuel jugó 4 partidos más que Alex, así que: S = A + 4

Y sabemos que juntos jugaron 12 partidos : S + A = 12

Nos preguntan cuántos partidos jugó Alex: A

 

Solución:

Empieza con:S + A = 12
S = A + 4, para que podamos
sustituir "A + 4" en vez de S:
(A + 4) + A = 12
Simplifica:2A + 4 = 12
Resta 4 de ambos lados:2A = 12 − 4
Simplifica:2A = 8
Divide ambos lados entre 2:A = 4

Lo que significa que Alex jugó 4 partidos de tenis.

 

Comprobación: Samuel jugó 4 partidos más que Alex, por lo que Samuel jugó 8 partidos. Juntos jugaron 8 + 4 = 12 partidos. ¡Sí!

Un ejemplo un poco más difícil:

mesa

Ejemplo: Alex y Samuel también construyen mesas. Juntos hacen 10 mesas en 12 días.

Alex trabajando solo puede hacer 10 en 30 días.

¿Cuánto tiempo le llevaría a Samuel trabajar solo para hacer 10 mesas?

 

 Convierte el español en álgebra:

Las letras que usaremos:

12 días de Alex y Samuel son 10 mesas, entonces: 12a + 12s = 10

30 días de Alex solo son también 10 mesas: 30a = 10

Se nos pregunta cuánto tiempo le tomaría a Samuel hacer 10 mesas.

Solución:

30a = 10, entonces la tasa de Alex (mesas por día) es: a = 10/30 = 1/3

Empieza con: 12a + 12s = 10
Pon "1/3" en vez de a:12(1/3) + 12s = 10
Simplifica:4 + 12s = 10
Resta 4 de ambos lados:12s = 6
Divide ambos lados entre 12:s = 6/12
Simplifica:s = 1/2

Lo que significa que la tasa de Samuel es media mesa al día (¡más rápido que Alex!)

Entonces 10 mesas le tomarían a Samuel solo 20 días.

¿Deberían pagarle más a Samuel, me pregunto?

Y otro ejemplo de "sustitución":

pista para correr

Ejemplo: Jennifer está entrenando duro para calificar para los Juegos Nacionales.

Ella tiene una rutina semanal regular, entrenando durante cinco horas al día algunos días y 3 horas al día los otros días.

Ella entrena en total 27 horas en una semana de siete días. ¿En cuántos días entrena durante cinco horas?

Las letras que usaremos:

Sabemos que hay siete días a la semana, así que: d + e = 7

Y ella entrena 27 horas en una semana, con d días de 5 horas y e días de 3 horas: 5d + 3e = 27

Se nos pregunta cuántos días entrena durante 5 horas: d

 

Solución:

 d + e = 7
Entonces: e = 7 − d
Sustituye eso dentro
de 5d + 3e = 27
5d + 3(7−d) = 27
Simplifica:5d + 21 − 3d = 27
Resta 21 de ambos lados:5d − 3d = 6
Simplifica:2d = 6
Divide ambos lados por 2:d = 3

El número de días de "5 horas" es 3

Comprobación: Ella entrena durante 5 horas los 3 días de la semana, por lo que debe entrenar durante 3 horas los otros 4 días de la semana.

3 × 5 horas = 15 horas, más 4 × 3 horas = 12 horas da un total de 27 horas

Algunos ejemplos de geometría:

área del círculo

Ejemplo: Si un círculo tiene un área de 12 mm2, ¿cuál es su radio?

Las letras que usaremos:

Y la fórmula para el área es: A = π r2

Se nos pide el radio.

Solución:

Necesitamos reorganizar la fórmula para encontrar el área

Empieza con:A = π r2
Voltea: π r2 = A
Divide ambos lados entre π: r2 = A / π
Toma la raíz cuadrada en ambos lados:r = √(A / π)
Ahora podemos usar el valor del Área:r = √(12 / π)
Y obtenemos:r = 1.954 (a 3 decimales)

Ejemplo: Si un cubo tiene un volumen de 125 mm3, ¿cuál es su área de superficie?

Haz un bosquejo rápido:

área del cubo = 6s^2, volumen = s^3

Las letras que usaremos:

Fórmulas:

Se nos pide la superficie.

Solución:

Primero encuentra el valor de s usando la fórmula del volumen:

Empieza con:V = s3
Voltea: s3 = V
Toma la raíz cúbica en ambos lados:s = ∛(V)
Y se tiene:s = ∛(125) = 5

Ahora podemos calcular el área de la superficie:

Empieza con:A = 6s2
Y obtenemos:A = 6(5)2
 A = 6 × 25 = 150 mm2

Un ejemplo sobre el dinero:

pizza

Ejemplo: Joel trabaja en la pizzería local. Cuando trabaja horas extras gana 1¼ veces la tasa normal.

Una semana, Joel trabajó durante 40 horas a la tarifa normal de pago y también trabajó 12 horas extra. Si Joel ganó $660 dólares en total en esa semana, ¿cuál es su tasa de pago normal?

 

Las letras que usaremos:

Fórmulas:

$40N + $(12 × 1¼N) = $660

Nos piden la tasa normal de pago de Joel: $N.

 

Solución:

Empieza con:$40N + $(12 × 1¼N) = $660
Simplifica:$40N + $15N = $660
Simplifica más:$55N = $660
Divide ambos lados entre 55:$N = $12

Entonces, la tasa de pago normal de Joel es de $12 por hora

Comprobación

La tasa normal de pago de Joel es de $12 por hora, por lo que su tarifa de horas extra es de 1¼ × $12 por hora = $15 por hora. Entonces, su pago normal de 40 × $12 = $480, más su pago de horas extras de 12 × $15 = $180 nos da un total de $660

Más sobre el dinero, con estos dos ejemplos que involucran interés compuesto

Ejemplo: Alex invierte $2000 en el banco con un interés compuesto anual de 11%. ¿Cuánto tendrá en 3 años?

Esta es la fórmula de interés compuesto:

Vi(1+r)^n = Vf

Las letras que usaremos:

Se nos pide el valor futuro: Vf

 

Solución:

Empieza con:Vf = Vi × (1+r)n
Sustituye lo que ya sabemos:Vf = $2000 × (1+0.11)3
Calcula:Vf = $2000 × 1.367631
Calcula:Vf = $2735.26 (redondeado en centavos)

Ejemplo: Rogelio depositó $1,000 en una cuenta de ahorros. El dinero generó interés compuesto anualmente a una misma tasa. Después de nueve años, el depósito de Rogelio ha aumentado a $1,551.33

¿Cuál fue la tasa de interés anual para la cuenta de ahorro?

La fórmula del interés compuesto:

Vi(1+r)^n = Vf

Con:

Se nos solicita la tasa de interés: r

 

Solución:

Empieza con:Vf = Vi × (1+r)n
Sustituye lo que ya conocemos:$1,551.33 = $1000 × (1+r)9
Voltea: $1000 × (1+r)9 = $1,551.33
Divide ambos lados por 1000: (1+r)9 = $1,551.33 / $1,000
Simplifica: (1+r)9 = 1.55133
raíz 9na: 1+r = 1.55133(1/9)
Calcula: 1+r = 1.05
Calcula:r = 0.05 = 5%

Entonces la tasa de interés anual es del 5%

Comprobación: $1,000 × (1.05)9 = $1,000 × 1.55133 = $1,551.33

Y ahora un ejemplo de una pregunta sobre una Proporción:

Ejemplo: al comienzo del año, la proporción de niños y niñas en una clase es de 2:1

Pero ahora, medio año después, cuatro niños abandonaron la clase y hay dos niñas nuevas. La proporción de niños a niñas es ahora 4:3

¿Cuántos estudiantes hay en total ahora?

Las letras que usaremos:

La proporción actual es 4 : 3

bg = 43

Que se puede reorganizar como 3b = 4g

A principios de año habían (b + 4) niños y (g − 2) niñas, y la proporción era 2 : 1

b + 4g − 2 = 21

Lo cual se puede reorganizar como b + 4 = 2(g − 2)

Se nos pregunta cuántos estudiantes hay en total ahora: b + g

Solución:

Empieza con:b + 4 = 2(g − 2)
Simplifica:b + 4 = 2g − 4
Resta 4 de ambos lados:b = 2g − 8
Multiplica ambos lados por 3 (para tener 3b):3b = 6g − 24
Recuerda 3b = 4g:4g = 6g − 24
Resta 6g de ambos lados:−2g = − 24
Divide ambos lados entre −2:g = 12

¡Hay 12 niñas!

Y 3b = 4g, así que b = 4g/3 = 4 × 12 / 3 = 16, por lo que hay 16 niños

Así que ahora hay 12 niñas y 16 niños en la clase, con un total de 28 estudiantes.

Comprobación

Ahora hay 16 niños y 12 niñas, por lo que la proporción de niños a niñas es 16 : 12 = 4 : 3
Al comienzo del año había 20 niños y 10 niñas, por lo que la proporción era 20 : 10 = 2 : 1

Y ahora un poco de Ecuaciones Cuadráticas:

Ejemplo: El producto de dos enteros pares consecutivos es 168. ¿Cuáles son los enteros?

Que sean consecutivos significa uno tras otro. Y son pares, por lo que podrían ser 2 y 4, o 4 y 6, etc.

Llamaremos al entero más pequeño n, por lo que el entero más grande debe ser n + 2

Y nos dicen que el producto (lo que obtenemos después de multiplicar) es 168, por lo que sabemos lo siguiente:

n(n + 2) = 168

Nos piden los enteros

Solución:

Empieza con:n(n + 2) = 168
Desarrolla:n2 + 2n = 168
Resta 168 de ambos lados:n2 + 2n − 168 = 0

Esa es una Ecuación Cuadrática, y hay muchas formas de resolverla. Utilizando el Solucionador de Ecuaciones Cuadráticas obtenemos −14 y 12.

Comprobación −14: −14(−14 + 2) = (−14)×(−12) = 168 SÍ

Comprobación 12: 12(12 + 2) = 12×14 = 168 SÍ

Entonces hay dos soluciones: −14 y −12 es una, 12 y 14 es la otra.

 

Nota: también podríamos haber intentado "adivinar y verificar":

Pero si no nos acordábamos que negativo por negativo da positivo se nos podría haber escapado la otra solución (−14)×(−12).

Y:

Ejemplo: Eres un arquitecto. Tu cliente quiere una habitación dos veces más larga que ancha. También quieren una terraza (veranda) de 3m de ancho a lo largo del lado largo.

Tu cliente tiene 56 metros cuadrados de hermosos azulejos de mármol para cubrir toda el área.

¿Cuál debería ser la longitud de la habitación?

¡Primero tracemos un boceto para hacer las cosas bien!

Veranda de la habitación el doble de larga que el ancho

Las letras que usaremos:

Sabemos:

Se nos pregunta por la longitud de la habitación: L

Solución:

Empieza con:(P + 3) × L = 56
Sustituye W = ½L:(½L + 3) × L = 56
Simplifica:½L2 + 3L = 56
Multiplica todo por 2:L2 + 6L = 112
Resta 112 de ambos lados:L2 + 6L − 112 = 0

Esta es una ecuación cuadrática, hay muchas formas de resolverla, esta vez usemos factorización:

Empieza con:L2 + 6L − 112 = 0
Dos números que multiplicados dan ac=−112,
y sumados dan b=6 son 14 y −8:
L2 + 14L − 8L − 112 = 0
Agrupa:L(L +14) − 8(L + 14) = 0
Agrupa:(L − 8)(L + 14) = 0

Por lo tanto, L = 8 o −14

Hay dos soluciones para la ecuación cuadrática, ¡pero solo una de ellas es posible ya que la longitud de la habitación no puede ser negativa!

Entonces la longitud de la habitación es 8 m

Comprobación

L = 8, así que P = ½L = 4

Entonces el área del rectángulo = (P+3) × L = 7 × 8 = 56

Hemos llegado al final ...

... Espero que estos ejemplos te ayuden a tener una idea de cómo manejar preguntas verbales. Ahora, ¿qué tal un poco de práctica?

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).