Introducción al Análisis Numérico
En matemáticas, generalmente buscamos una respuesta exacta utilizando herramientas como el Álgebra, la Geometría y el Cálculo.
Pero a veces no podemos encontrar una respuesta de esa manera, o la respuesta requiere demasiado tiempo para ser encontrada.
¡Análisis Numérico al rescate!
El Análisis Numérico nos da una respuesta aproximada usando cálculos simples, y podemos usarlo una y otra vez obteniendo mejores respuestas hasta que el error sea pequeño.
Métodos Numéricos
Los métodos también se llaman "algoritmos" y son como recetas.
Uno de los algoritmos famosos es el método de Newton.
Es muy útil para encontrar raíces (donde una función cruza el eje).
Comenzamos con una suposición x0, luego encontramos dónde nos coloca en la curva.
Usando ese punto (x0, f(x0)) y su pendiente, encontramos un nuevo punto en el eje, x1, el cual se convierte en nuestra nueva suposición. Repetimos usando x1, etc.
No siempre funciona (a veces la pendiente nos aleja), ¡pero cuando funciona es genial!
Ejemplo: Método de Newton para √10
El Método de Newton encuentra donde una función es igual a cero (una "raíz").
Entonces, para encontrar x = √10 podemos usar x2 − 10 = 0
La pendiente de x2 − 10 es 2x (usando derivadas)
Después de una ronda tenemos √10 ≈ 3.1666...
Nuestra calculadora dice que √10 = 3.16227766..., va bien hasta ahora.
Intentemos otra ronda:
¡Muy buena aproximación!
Prueba una ronda más tú mismo y mira qué obtienes.
Otros Métodos
Existen muchos métodos inteligentes e interesantes. Cada uno tiene fortalezas y debilidades.
Otra manera de encontrar raíces es el Método de Bisección, o "corte binario". Comenzamos a ambos lados de la raíz, un lado con y positiva y el otro con y negativa. Elegimos un valor en medio, calculamos su valor y luego reducimos el intervalo, asegurándonos de mantener un valor de y negativo y uno positivo.
También existen muchos métodos para resolver integrales como la Regla de Simpson (lee Aproximaciones Integrales y Calculadora de Aproximación Integral).
También puedes probar jugando con un simple modelo por computadora de reflexión dentro de una elipse. Los errores se acumulan pero aún es divertido de observar, o la animación de un péndulo simple o el péndulo doble (que también sufre de acumulación de errores).
Es realmente divertido ver cómo las respuestas mejoran y mejoran (o empeoran) mientras la computadora trabaja en ellas.
Ejemplos más complejos incluyen:
- Predicción del clima
- Modelos económicos (predicción de tasas de interés, desempleo, etc.)
- Salud pública / Enfermedades infecciosas
- Modelos de comportamiento de grandes estructuras bajo estrés (puentes, rascacielos, etc.)
- Muchos más ...
Si te conviertes en experto en cualquiera de esos temas, tendrás una carrera buena y satisfactoria.
