Multiplicación de Números Complejos
Un número complejo
Un Número Complejo es una combinación de un Número Real y un Número Imaginario:
Un Número Real es el tipo de número que usamos todos los días.
Ejemplos: 12.38, ½, 0, −2000
Un Número Imaginario, cuando lo elevamos al cuadrado da un resultado negativo:
Ejemplos: 5i, −3.6i, i/2, 500i
Donde "i" es la unidad imaginaria
i2 = −1
Ejemplos de números complejos:
Cualquier parte puede ser cero:
Multiplicación
Para multiplicar números complejos:
Cada parte del primer número complejo se multiplica por
cada parte del segundo número complejo
Simplemente usa "PIES", que significa "Primeros, Interiores, Exteriores, Segundos" (mira Multiplicación de binomios para más detalles):
- Primeros: a × c
- Interiores: bi × c
- Exteriores: a × di
- Segundos: bi × di
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2
De esta forma:
Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i)
Aquí hay otro ejemplo:
Ejemplo: (1 + i)2
¡Pero hay una manera más rápida!
Usa esta regla:
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
Ejemplo:
¿Por qué funciona esa regla?
Es solo el método "PIES" después de un poco de trabajo:
| (a+bi)(c+di) | = | ac + adi + bci + bdi2 | método PIES | |
| = | ac + adi + bci − bd | (porque i2=−1) | ||
| = | (ac − bd) + (ad + bc)i | (agrupando términos semejantes) |
Y ahí tienes el patrón (ac − bd) + (ad + bc)i.
Esta regla es ciertamente más rápida, pero si la olvidas, solo recuerda el método PIES.
Ahora veamos cómo se ve la multiplicación en el plano complejo.
El plano complejo
Este es el plano complejo
¡Es un plano para números complejos!
Podemos graficar un número complejo como 3 + 4i
Se ubica:
- 3 unidades a lo largo (el eje real),
- y 4 unidades hacia arriba (el eje imaginario)
Multiplicar por i
Multipliquémoslo por i:
Que se simplifica a (porque i2 = −1):
Y aquí está lo genial... es lo mismo que girar un ángulo recto (90° o π/2)
¿Fue solo una extraña coincidencia?
Sigamos multiplicando por i para ver qué sucede:
Bueno, ¿no es asombroso? Cada vez gira un ángulo recto, hasta que termina donde comenzó.
Probémoslo con el número 1:
| 1 × i | = i | |
| i × i | = −1 | |
| −1 × i | = −i | |
| −i × i | = 1 | |
| ¡De nuevo al 1! | ||
Cada vez una rotación en ángulo recto.
Elige tu propio número complejo y pruébalo por ti mismo, es una buena práctica.
Miremos más de cerca los ángulos ahora.
Forma polar
Así que el número complejo 3 + 4i también se puede mostrar como distancia (5) y ángulo (0.927 radianes)
¿Cómo hacemos las conversiones?
Ejemplo: el número 3 + 4i
Podemos hacer una conversión de cartesianas a polares:
- r = √(x2 + y2) = √(32 + 42) = √25 = 5
- θ = tan-1 (y/x) = tan-1 (4/3) = 0.927 (a 3 decimales)
También podemos ir en la otra dirección (coordenadas polares a cartesianas):
- x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 (con precisión exacta)
- y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 (con precisión exacta)
De hecho, una forma común de escribir un número complejo en forma polar es
| x + iy | = | r cos θ + i r sin θ |
| = | r(cos θ + i sin θ) |
Y "cos θ + i sin θ" a menudo se abrevia como "cis θ", así:
x + iy = r cis θ
cis θ es solo una abreviatura de cos θ + i sin θ
3 + 4i = 5 cis 0.927
En algunas materias, como en electrónica, ¡"cis" se usa mucho!
Veamos ahora más multiplicaciones
Probemos con otra multiplicación:
Ejemplo: Multiplicar 1+i por 3+i
Y aquí está el resultado en el plano complejo:
Pero es más interesante ver esos números en forma polar:
Ejemplo: (continuación)
Convierte 1+i a polar:
- r = √(12 + 12) = √2
- θ = tan-1 (1/1) = 0.785 (a 3 decimales)
Convierte 3+i a polar:
- r = √(32 + 12) = √10
- θ = tan-1 (1/3) = 0.322 (a 3 decimales)
Convierte 2+4i a polar:
- r = √(22 + 42) = √20
- θ = tan-1 (4/2) = 1.107 (a 3 decimales)
Echa un vistazo a los valores r por un momento. ¿Están relacionados de alguna manera?
¿Y qué hay de los valores θ?
Aquí está esa multiplicación en una sola línea (usando "cis"):
(√2 cis 0.785) × (√10 cis 0.322) = √20 cis 1.107
Esto es lo interesante:
- √2 x √10 = √20
- 0.785 + 0.322 = 1.107
Entonces:
Las magnitudes se multiplican
y los ángulos se suman
Al multiplicar en forma polar: multiplica las magnitudes, suma los ángulos.
Y es por eso que multiplicar por i gira un ángulo recto:
y forma un ángulo recto en el plano complejo
Elevar al cuadrado
Para elevar al cuadrado un número complejo, multiplícalo por sí mismo:
- multiplica las magnitudes: magnitud × magnitud = magnitud2
- suma los ángulos: ángulo + ángulo = 2 × ángulo, así que los duplicamos
Resultado: elevar al cuadrado las magnitudes, duplicar el ángulo.
Ejemplo: Elevemos al cuadrado 1 + 2i:
En el diagrama, el ángulo parece estar (¡y está!) duplicado.
Además:
- La magnitud de (1+2i) = √(12 + 22) = √5
- La magnitud de (−3+4i) = √(32 + 42) = √25 = 5
Así que la magnitud también se elevó al cuadrado.
En general, un número complejo como:
r(cos θ + i sin θ)
Cuando se eleva al cuadrado se convierte en:
r2(cos 2θ + i sin 2θ)
La magnitud r se eleva al cuadrado y el ángulo θ se duplica.
O en la notación más corta "cis":
(r cis θ)2 = r2 cis 2θ
Fórmula de De Moivre
¡Podemos hacer más general la fórmula anterior! Con la ayuda de Abraham de Moivre tenemos una fórmula para cualquier número entero n:
(r cis θ)n = rn cis nθ
La magnitud se convierte en rn y el ángulo se convierte en nθ
Ejemplo: ¿Cuánto es (1+i)6?
Primero convierte 1+i a forma polar:
- r = √(12 + 12) = √2
- θ = tan-1 (1/1) = π/4
En notación "cis" ahora es: √2 cis π/4
Usa la fórmula con un exponente de 6:
(√2 cis π/4)6 = (√2)6 cis 6π/4
Lo cual se simplifica a:
8 cis 3π/2
En otras palabras: la magnitud es ahora 8, y el ángulo es 3π/2 (=270°)
Que también es 0−8i (mira el diagrama)
Aprende más en la Fórmula de De Moivre
Resumen
- Usa "PIES" para multiplicar números complejos,
- O usa la fórmula:
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
- O usa la forma polar y luego multiplica las magnitudes y suma los ángulos
- La fórmula de De Moivre se puede usar para exponentes enteros:
[ r(cos θ + i sin θ) ]n = rn(cos nθ + i sin nθ)
- La forma polar r cos θ + i r sin θ a menudo se abrevia como r cis θ
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).