Plano Complejo

Ilustración de un avión comercial con partes 'complejas' señaladas.

No, no ese avión complejo...

... este plano complejo:

El plano complejo mostrando el eje Real horizontal y el eje Imaginario vertical.

¡un plano para números complejos!
También llamado "Diagrama de Argand"

Reales e Imaginarios hacen Complejos

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario:

Un número real es el tipo de número que usamos todos los días.

Ejemplos: 12.38, ½, 0, −2000

Cuando elevamos al cuadrado un número real obtenemos un resultado positivo (o cero):

2² = 2 × 2 = 4
1² = 1 × 1 = 1
0² = 0 × 0 = 0

¿Qué podemos elevar al cuadrado para obtener −1?

?² = −1

Elevar al cuadrado −1 no funciona porque multiplicar negativos da positivo: (−1) × (−1) = +1, y ningún otro número real funciona tampoco.

Así que parece que las matemáticas están incompletas...

... pero podemos llenar el hueco imaginando que hay un número que, al multiplicarse por sí mismo, da −1
(llamémoslo i por imaginario):

i² = −1

Un número imaginario, cuando se eleva al cuadrado da un resultado negativo

Ejemplos: 5i, -3.6i, i/2, 500i

Y juntos:

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario

Ejemplos: 3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i

Poniendo un Número Complejo en el Plano

Quizá estés familiarizado con la recta numérica:

¿Pero dónde ponemos un número complejo como 3+4i?

Hagamos que la recta de los números reales vaya de izquierda a derecha como de costumbre, y que la recta de los números imaginarios vaya de arriba a abajo:

Entonces podemos representar un número complejo como 3 + 4i :

3 unidades a lo largo (el eje real),
y 4 unidades hacia arriba (el eje imaginario)

Punto en 3 en el eje real y 4 en el eje imaginario.

Y aquí está 4 − 2i :

4 unidades a lo largo (el eje real),
y 2 unidades hacia abajo (el eje imaginario)

Y ese es el plano complejo:

complejo porque es una combinación de real e imaginario,
plano porque es como un plano geométrico (de 2 dimensiones)

Un mundo completamente nuevo

Ahora llevemos la idea de un plano (como en las coordenadas cartesianas, coordenadas polares, vectores, y así sucesivamente.) a los números complejos.

Nos abrirá todo un mundo nuevo de números que son más completos y elegantes, como veremos.

El número complejo como un vector

Podemos pensar en un número complejo como en un vector.

vector
Este es un vector.
Tiene magnitud (longitud) y dirección.

Y aquí está el número complejo 3 + 4i
como un vector:

Sumar

También podemos sumar números complejos como vectores:

Para sumar los números complejos 3 + 5i y 4 − 3i :

suma los números reales, y
suma los números imaginarios

por separado, de esta forma:

(3 + 5i) + (4 − 3i) =(3 + 4) + (5 − 3)i 7 + 2i

Forma Polar

Usemos 3 + 4i otra vez:

Aquí está en forma polar:

De modo que el número complejo 3 + 4i también puede mostrarse como una distancia (5) y un ángulo (0.927 radianes).

Esos dos valores (distancia y ángulo) tienen nombres especiales:

Módulo (r): La distancia desde el origen hasta el punto. Para 3 + 4i, el módulo es 5
Argumento (θ): El ángulo medido en sentido antihorario desde el eje Real positivo. Para 3 + 4i, el argumento es 0.927 radianes (o aproximadamente 53.1°)

El módulo a menudo se muestra usando barras verticales, como esto:

|3 + 4i| = 5

Veamos cómo convertir de una forma a la otra usando la conversión de cartesianas a polares:

Ejemplo: el número 3 + 4i

A partir de 3 + 4i :

Módulo (r) = √(x² + y²) = √(3² + 4²) = √25 = 5
Argumento (θ) = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (4/3) = 0.927 (a 3 decimales)

Y obtenemos la distancia (5) y el ángulo (0.927 radianes)

De vuelta al inicio:

x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 (suficientemente cerca)
y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 (suficientemente cerca)

Y la distancia 5 y el ángulo 0.927 radianes vuelven a ser 3 y 4.

De hecho, una forma común de escribir un número complejo en forma polar es

x + iy= r cos θ + i r sin θ = r(cos θ + i sin θ)

Y "cos θ + i sin θ" a menudo se abrevia como "cis θ", así que:

x + iy = r cis θ

cis es solo una abreviatura de cos θ + i sin θ

Así que podemos escribir:

3 + 4i = 5 cis 0.927

En algunas materias, como en electrónica, ¡"cis" se usa mucho!

Distancia

La distancia entre dos números complejos, z₁ y z₂, es la distancia en línea recta entre sus puntos en el plano complejo.

Para hallar la distancia, simplemente calculamos el módulo de su diferencia:

Distancia = |z₁ − z₂|

Por qué funciona: cuando restamos z₂ de z₁, obtenemos un nuevo número complejo que representa las separaciones horizontal y vertical entre ellos. Calcular el módulo nos da la distancia en línea recta.

Halla la distancia entre z₁ = 2 + 3i y z₂ = 5 − i:

Halla la diferencia:

z₁ − z₂ =

(2 − 5) + (3 − (−1))i

−3 + 4i

Calcula el módulo:

|−3 + 4i| =

√((−3)² + 4²)

√(9 + 16)

√(25)

Punto medio

El punto medio entre dos números complejos es el punto central exacto entre ellos. Para hallarlo, simplemente calculamos el promedio de los dos números:

Punto medio = z₁ + z₂2

Por qué funciona: sumar los dos números complejos y dividir entre 2 promedia automáticamente sus partes reales (eje horizontal) y sus partes imaginarias (eje vertical) al mismo tiempo.

Halla el punto medio entre z₁ = 2 + 3i y z₂ = 5 − i:

Suma los números:

z₁ + z₂ =

(2 + 5) + (3 + (−1))i

7 + 2i

Divide entre 2:

7 + 2i2 = 3.5 + i

Resumen

El plano complejo es un plano con:
- números reales que van de izquierda a derecha y
- números imaginarios que van de arriba a abajo
Para convertir de forma cartesiana a forma polar:
- r = √(x² + y²)
- θ = tan^-1 ( y / x )
Para convertir de forma polar a forma cartesiana:
- x = r × cos( θ )
- y = r × sin( θ )
La forma polar r cos θ + i r sin θ a menudo se abrevia como r cis θ

A continuación... aprende sobre la multiplicación de números complejos.

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