Resolver Triángulos LLL

"LLL" significa "Lado, Lado, Lado"

triángulo LLL

"LLL" es cuando conocemos tres lados del triángulo y queremos encontrar los ángulos faltantes.

Para resolver un triángulo LLL:

Usamos la versión "angular" de la Ley de Cosenos:

cos(C) = a2 + b2 − c2 2ab

cos(A) = b2 + c2 − a2 2bc

cos(B) = c2 + a2 − b2 2ca

(todas son la misma fórmula, solo letras diferentes)

Ejemplo 1

ejemplo triángulo LLL 6,7,8

En este triángulo conocemos los tres lados:

Usa primeramente la Ley de Cosenos para encontrar uno de los ángulos. No importa cuál. Primero encontremos el ángulo A:

cos A = (b2 + c2 − a2) / 2bc
cos A = (62 + 72 − 82) / (2×6×7)
cos A = (36 + 49 − 64) / 84
cos A = 0.25
A = cos−1(0.25)
A = 75.5224...°
A = 75.5° a 1 decimal.

A continuación encontraremos otro lado. Usamos la Ley de Cosenos nuevamente, esta vez para el ángulo B:

cos B = (c2 + a2 − b2)/2ca
cos B = (72 + 82 − 62)/(2×7×8)
cos B = (49 + 64 − 36) / 112
cos B = 0.6875
B = cos−1(0.6875)
B = 46.5674...°
B = 46.6° a 1 decimal

Ahora usaremos que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo C:

C = 180° − 75.5224...° − 46.5674...°
C = 57.9° a 1 decimal

Ahora hemos resuelto completamente el triángulo, es decir, hemos encontrado todos sus ángulos.

El triángulo puede tener letras que no sean ABC:

Ejemplo 2

triángulo LLL 3.5, 5.1, 7.9

Este también es un triángulo LLL.

En este triángulo conocemos los tres lados x = 5.1, y = 7.9 y z = 3.5. Usa la Ley de Cosenos para encontrar primeramente el ángulo X:

cos X = (y2 + z2 − x2)/2yz
cos X = ((7.9)2 + (3.5)2 − (5.1)2)/(2×7.9×3.5)
cos X = (62.41 + 12.25 − 26.01)/55.3
cos X = 48.65/55.3 = 0.8797...
X = cos−1(0.8797...)
X = 28.3881...°
X = 28.4° a 1 decimal

Luego usaremos la Ley de Cosenos nuevamente para encontrar el ángulo Y:

cos Y = (z2 + x2 − y2)/2zx
cos Y = −24.15/35.7 = −0.6764...
cos Y = (12.25 + 26.01 − 62.41)/35.7
cos Y = −24.15/35.7 = −0.6764...
Y = cos−1(−0.6764...)
Y = 132.5684...°
Y = 132.6° a 1 decimal.

Finalmente usaremos que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo Z:

Z = 180° − 28.3881...° − 132.5684...°
Z = 19.0° a 1 decimal

Otro método

Aquí hay otra forma (un poco más rápida) de resolver un triángulo LLL:

¿El ángulo más grande?

¿Por qué tratamos de encontrar el ángulo más grande primero? De esa manera, los otros dos ángulos deben ser agudos (menos de 90°) y la Ley de Senos dará respuestas correctas.

La Ley de Senos es difícil de usar con ángulos mayores de 90°. Puede haber dos respuestas a cada lado de 90° (ejemplo: 95° y 85°), pero una calculadora solo dará la respuesta más pequeña.

Entonces, al calcular el ángulo más grande primero usando la Ley de Cosenos, los otros ángulos son menores de 90° y la Ley de Senos se puede usar en cualquiera de ellos sin dificultad.

Ejemplo 3

triángulo LLL 7.4, 11.6, 15.2

B es el ángulo más grande, así que primero encontraremos B usando la Ley de Cosenos:

cos B = (a2 + c2 − b2) / 2ac
cos B = (11.62 + 7.42 − 15.22) / (2×11.6×7.4)
cos B = (134.56 + 54.76 − 231.04) / 171.68
cos B = −41.72 / 171.68
cos B = −0.2430...
B = 104.1° a 1 decimal

Usa la Ley de los Senos, sinC / c = sinB / b, para encontrar el ángulo A:

sin C / 7.4 = sin 104.1° / 15.2
sin C = 7.4 × sin 104.1° / 15.2
sin C = 0.4722...
C = 28.2° a 1 decimal

Usa que "los tres ángulos suman 180°" para encontrar el ángulo A:

A = 180° − (104.1° + 28.2°)
A = 180° − 132.3°
A = 47.7° a 1 decimal

 

Así que A = 47.7°, B = 104.1°, y C = 28.2°

 

¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).

 
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