La Ley de Senos
La Ley de los Senos (o Regla del Seno) es muy útil para resolver triángulos:
a sin A = b sin B = c sin C
Funciona para cualquier triángulo:
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a, b y c son los lados. A, B y C son los ángulos. (El lado a está frente al ángulo A, |
Y nos dice que:
Cuando dividimos el lado a por el seno del ángulo
A,
es igual al lado b dividido por el seno del ángulo B,
y también igual al lado c dividido por el seno del ángulo C.
¿Seguro...?
Bueno, hagamos los cálculos para un triángulo que preparé anteriormente:
a sen A = 8 sen(62.2°) = 8 0.885... = 9.04...
b sen B = 5 sen(33.5°) = 5 0.552... = 9.06...
c sen C = 9 sen(84.3°) = 9 0.995... = 9.04...
¡Las respuestas son casi las mismas!
(Serían exactamente iguales si usáramos una precisión
perfecta).
Así que ahora puedes ver que:
a sin A = b sin B = c sin C
¿Es esto magia?
En realidad no; mira este triángulo general e imagina que son dos triángulos rectángulos que comparten el lado h (la altura):
El seno de un ángulo es el opuesto dividido por la hipotenusa, así que:
| sen(A) = h/b |  |
b sen(A) = h | |
| sen(B) = h/a | |
a sen(B) = h |
Como a sen(B) y b sen(A) son ambos iguales a h, obtenemos:
a sen(B) = b sen(A)
Lo cual se puede reordenar como:
a sin A = b sin B
Podemos seguir pasos similares para incluir c/sen(C).
¿Cómo la usamos?
Veamos un ejemplo:
Ejemplo: Calcular el lado "c"
Ahora usamos álgebra para despejar:
Hallar un ángulo desconocido
En el ejemplo anterior hallamos un lado...
... pero también podemos usar la Ley de los Senos para hallar un ángulo desconocido.
En este caso, es mejor invertir las fracciones (sen A/a en lugar de a/sen A, etc.):
sen A a = sen B b = sen C c
Ejemplo: Calcular el ángulo B
¡A veces hay dos respuestas!
Hay una cosa muy engañosa a la que debemos estar atentos:
Dos posibles respuestas.
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Imagina que conocemos el ángulo A y los lados a y b. Podemos "girar" el lado a hacia la izquierda o derecha y obtener dos resultados posibles (un triángulo pequeño y uno mucho más ancho). ¡Ambas respuestas son correctas! |
Esto solo sucede en el caso de "Dos Lados y un Ángulo no comprendido entre ellos" (SSA), e incluso entonces no siempre, pero hay que tener cuidado.
Solo piensa: "¿podría girar ese lado hacia el otro lado y obtener también una respuesta correcta?"
Ejemplo: Calcular el ángulo R
Lo primero que notarás es que este triángulo tiene etiquetas diferentes: PQR en lugar de ABC. Pero no pasa nada. Simplemente usamos P, Q y R en la Ley de los Senos.
¡Pero espera! Hay otro ángulo que también tiene un seno igual a 0.9215...
La calculadora no te dirá esto, pero sen(112.9°) también es igual a 0.9215...
Entonces, ¿cómo descubrimos el valor de 112.9°?
Fácil... resta 67.1° de 180°, así:
180° − 67.1° = 112.9°
Así que hay dos respuestas posibles para R: 67.1° y 112.9°:
¡Ambos son posibles! Cada uno tiene el ángulo de 39° y los lados de 41 y 28.
Por lo tanto, comprueba siempre si la respuesta alternativa tiene sentido.
- ... a veces lo tendrá (como arriba) y hay dos soluciones.
- ... a veces no lo tendrá (como abajo) y hay una sola solución.
Por ejemplo, este triángulo de antes.
Como puedes ver, podemos intentar girar la línea de "5.5", pero ninguna otra solución tiene sentido.
Así que este tiene solo una solución.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
