Seno, coseno y tangente

Tres funciones, la misma idea.

Triángulo rectángulo

Seno, Coseno y Tangente son las tres funciones principales que se usan en Trigonometría y están basadas en un triángulo rectángulo.

Antes de concentrarnos en las funciones, nos ayudará dar nombres a los lados de un triángulo rectángulo, de esta manera:

triángulo que muestra opuesto, adyacente e hipotenusa

Ejemplos de opuesto, adyacente e hipotenusa

El Adyacente siempre está al lado del ángulo

Y el Opuesto está opuesto al ángulo

Seno, Coseno y Tangente

Seno, Coseno y Tangente (a menudo abreviadas como sen -o sin, del inglés sine-, cos y tan) son cada una una proporción de los lados de un triángulo rectángulo:

sin = opuesto / hipotenusa, cos = adyacente / hipotenusa, tan = opuesto / adyacente

Para un ángulo dado θ cada proporción permanece igual
no importa cuán grande o pequeño sea el triángulo

Para calcularlas:

Divide la longitud de un lado por otro lado.

Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?

triángulo con lados 2.8, 4.0 y 4.9

Usando este triángulo (las longitudes están redondeadas a un decimal):

sin(35°) = OpuestoHipotenusa
  = 2.84.9
  = 0.57...
   
cos(35°) = AdyacenteHipotenusa
  = 4.04.9
  = 0.82...
   
tan(35°) = OpuestoAdyacente
  = 2.84.0
  = 0.70...

El tamaño no importa

El triángulo puede ser grande o pequeño y la razón de los lados permanece igual.

Solo el ángulo cambia la proporción.

Intenta arrastrar el punto "A" para cambiar el ángulo y el punto "B" para cambiar el tamaño:

 

calculadora-sin-cos-tan

Las buenas calculadoras incluyen sin, cos y tan. Simplemente pones el ángulo y presionas el botón.

¡Pero aún necesitas recordar lo que significan!


Las tres funciones ilustradas individualmente:

sin = opuesto / hipotenusa, cos = adyacente / hipotenusa, tan = opuesto / adyacente

Practica aquí:

Sohcahtoa

¿Cómo puedes recordar todo esto? ¡Piensa "Sohcahtoa"!

Funciona así:

Soh...
Seno = Opuesto / Hipotenusa
...cah...
Coseno = Adyacente / Hipotenusa
...toa
Tangente = Opuesto / Adyacente

Tenemos una página sobre esta mnemotecnia sohcahtoa ... ¡te puede ayudar en un examen!

Ángulos de 0° a 360°

Mueve el cursor para ver cómo los diferentes ángulos (en radianes o grados) afectan los valores de seno, coseno y tangente.

En esta animación, la hipotenusa es 1, formando una circunferencia unitaria.

Observa que el lado adyacente y el lado opuesto pueden ser positivos o negativos, lo que hace que el seno, el coseno y la tangente también cambien entre valores positivos y negativos.

feliz"¿Por qué el seno y el coseno
 no llegaron a su destino?"
Porque se salieron por la tangente.

 

Ejemplos

Ejemplo: ¿cuáles son los valores del seno, coseno y la tangente de 30° ?

El clásico triángulo de 30° tiene una hipotenusa de longitud 2, un lado opuesto de longitud 1 y un lado adyacente que mide √3:

Triángulo de 30 grados

Ahora que conocemos las longitudes, podemos calcular las funciones:

Seno
  sin(30°) = 1 / 2 = 0.5
Coseno
  cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866...
Tangente
  tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577...

(Ten a la mano tu calculadora y comprueba).

Ejemplo: ¿cuáles son los valores del seno, coseno y la tangente de 45° ?

El clásico triángulo de 45° tiene dos lados de longitud 1 y una hipotenusa de √2:

Triángulo de 45 grados

Seno
  sin(45°) = 1 / 1.414 = 0.707...
Coseno
  cos(45°) = 1 / 1.414 = 0.707...
Tangente
  tan(45°) = 1 / 1 = 1

¿Por qué?

¿Por qué son importantes estas funciones?

ejemplo trigonometría

Ejemplo: Usa la función seno para encontrar "d"

Tenemos estos datos:

Y queremos saber "d" (la distancia hacia abajo).

Empieza con:sin 39° = opuesto/hipotenusa
 sin 39° = d/30
Voltea los lados:d/30 = sin 39°
Usa la calculadora para sin 39°: d/30 = 0.6293...
Multiplica ambos lados por 30:d = 0.6293… x 30
 d = 18.88 a 2 decimales.

La profundidad "d" es 18.88 m

Ejercicio

Prueba este ejercicio sobre el papel donde tienes que calcular la función seno para ángulos de 0° a 360°, y dibujar el resultado. Te ayudará a entender estas funciones que son bastante simples.

También puedes leer acerca de las Gráficas de Seno, Coseno y Tangente.

Y jugar con un resorte que hace una onda sinusoidal (seno).

Funciones menos comunes

Para completar el cuadro, hay otras 3 funciones donde divides un lado por otro, pero no se usan tanto.

Son iguales a 1 dividido entre cos, 1 dividido entre sin y 1 dividido entre tan:

Función secante:
  sec(θ) = HipotenusaAdyacente   (=1/cos)
Función cosecante:
  csc(θ) = HipotenusaOpuesto   (=1/sin)
Función cotangente:
  cot(θ) = AdyacenteOpuesto   (=1/tan)


¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).