Sucesiones - Encontrar la regla
Para encontrar un número que falta en una sucesión, primero tienes que conocer la regla
Sucesión
Una sucesión o serie es un conjunto de cosas (normalmente números) que están en algún orden.
 |
Cada número en la sucesión es un término (a veces "elemento" o "miembro").
Lee Sucesiones y Series
para tratar el tema con más detalle.
Encontrar números que faltan
Para calcular un número que falta primero necesitas saber la regla que sigue la sucesión.
A veces basta con mirar los números y ver el patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?
Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4, 32=9, 42=16, ...)
Regla: xn = n2
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...
¿Has visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?
xn significa "el término en la posición n", así que el tercer término sería x3
para el tercer término evaluamos:
x3 = 32 = 9
Cuando sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo término 25º se calcula "metiendo" un 25 donde haya una n.
x25 = 252 = 625
Qué tal si vemos otro ejemplo:
Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?
Después del 3 y 5, todos los demás son la suma de los dos que están antes,
o sea 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de Fibonacci):
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
Cuya regla es:
Regla: xn = xn−1 + xn−2
¿Qué significa xn−1 aquí? Bueno, sólo significa "el término anterior" porque la posición (n−1) es uno menos que (n).
Y xn−2 significa uno antes que ése.
Vamos a aplicar la regla al 6º término:
x6 = x6−1 + x6−2
x6 = x5 + x4
De modo que el sexto término es igual a la suma del quinto término más el cuarto.
Ya sabemos que el 5º es 21, y que el 4º es 13, así que la respuesta es:
x6 = 21 + 13 = 34
Muchas reglas
Uno de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una sucesión es que las matemáticas son tan potentes que podemos encontrar más de una regla que vale.
¿Cuál es el siguiente número de la sucesión 1, 2, 4, 7, ?
Hay (por lo menos) tres soluciones:
Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...
Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...
Regla: xn = n(n−1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...
(La regla parece complicada, pero funciona)
Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:
Regla: xn = xn−1 + xn−2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...
Solución 3: suma los tres números anteriores
Regla: xn = xn−1 + xn−2 + xn−3
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...
Así que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.
¿Cuál es la correcta? Todas son correctas.
Y habrá otras soluciones...
 |
Hey, puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente puede ser... ¡cualquiera! |
La regla más simple
Cuando dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona también que hay otras soluciones.
Calcular diferencias
A veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas veces esto nos muestra un patrón escondido.
Aquí tienes un ejemplo sencillo:
Las diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte de la respuesta.
Probamos 2n:
| n: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Términos (xn): | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
| 2n: | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| Error: | 5 | 5 | 5 | 5 | 5 |
La última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:
Regla: xn = 2n + 5
OK, podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero queremos un sistema que funcione, para cuando las sucesiones sean más complicadas.
Segundas diferencias
En la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular las diferencias...
... y después calcular las diferencias de esas diferencias (se llaman segundas diferencias), así:
En este caso las segundas diferencias son 1.
Con las segundas diferencias multiplicamos por n22.
En nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n22
| n: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Términos (xn): | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 |
| n22: | 0.5 | 2 | 4.5 | 8 | 12.5 |
| Error: | 0.5 | 0 | -0.5 | −1 | −1.5 |
Estamos cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos ahora: n22 − n2
| n22 − n2: | 0 | 1 | 3 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Error: | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ahora nos sale 1 menos, así que sumamos 1:
| n22 − n2 + 1: | 1 | 2 | 4 | 7 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| Error: | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
La fórmula n22 − n2 + 1: se puede simplificar a n(n−1)/2 + 1
Así que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.
Regla: xn = n(n-1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...
Otros tipos de sucesiones
Además de las que se explican en sucesiones y series:
Ten en cuenta
- Números primos
- Números factoriales
- ¡y cualquier otra sucesión!
La verdad es que hay demasiados tipos de sucesiones para decirlos aquí, pero si hay alguno que te gustaría que digamos, sólo tienes que decírmelo.
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
