Teoremas, Corolarios y Lemas

¿Qué son todas esas cosas? ¡Suenan muy impresionantes!

Bueno, básicamente son solo hechos: afirmaciones que se ha demostrado que son verdaderas (o que se aceptan como verdaderas).

Un Axioma (o Postulado) es una regla inicial que aceptamos como verdadera sin necesidad de prueba.
Un Teorema es un resultado importante (demostrado usando axiomas y resultados anteriores).
Un Corolario es un resultado que se desprende directamente de un teorema.
Un Lema es un resultado demostrado principalmente para ayudar a demostrar otro teorema.
Una Conjetura es una idea que creemos que es verdadera pero que aún no hemos demostrado. ¡Una vez que una conjetura se demuestra, se convierte en teorema!

Nota: Un resultado se llama lema por la forma en que se usa, no porque sea pequeño.

Ejemplos

Ejemplo: Un Axioma

Axioma: En geometría básica: por cualquier par de puntos pasa exactamente una línea recta.

Esto no se demuestra, es una regla de partida que acordamos usar.

Todas las demostraciones se construyen sobre axiomas: sin ellos no habría por dónde empezar.

Ejemplo: Un Teorema y un Corolario

Teorema:

Los ángulos de un lado de una línea recta siempre suman 180°.

Línea recta con dos ángulos adyacentes a y b que suman 180 grados

Corolario:

De este teorema podemos mostrar que cuando dos líneas se cruzan, los ángulos opuestos entre sí (llamados Opuestos por el Vértice) son iguales.

Dos líneas que se cruzan formando cuatro ángulos
Ángulo a = ángulo c
Ángulo b = ángulo d

Demostración:

Los ángulos a y b están sobre una línea recta, así que:

a + b = 180°

a = 180° − b

Lo mismo ocurre con los ángulos b y c:

b + c = 180°

c = 180° − b

Como tanto a como c son iguales a 180° − b, tenemos:

a = c

Y un ejemplo un poco más complicado de Geometría:

Ejemplo: Un Teorema con Corolarios

Teorema:

Círculo con ángulo central 2a y ángulo inscrito a

Un ángulo inscrito a° es la mitad del ángulo central 2a°

Llamado el Teorema del Ángulo Central.

Demostración:

Une el centro O con el punto A.

demostración del ángulo inscrito

El triángulo ABO es isósceles (dos lados iguales, dos ángulos iguales), así que:

Ángulo OBA = Ángulo BAO = b°

Y, usando Ángulos internos de un Triángulo suman 180°:

Ángulo AOB = (180 − 2b)°

El triángulo ACO también es isósceles, así que:

Ángulo OCA = Ángulo CAO = c°

Y, de nuevo, usando que los Ángulos internos de un Triángulo suman 180°:

Ángulo AOC = (180 − 2c)°

Y, usando que los Ángulos alrededor de un punto suman 360°:

Ángulo BOC = 360° − (180 − 2b)° − (180 − 2c)° = 2b° + 2c° = 2(b + c)°

Como b + c = a, obtenemos:

Ángulo BAC = a° y Ángulo BOC = 2a°

Círculo con ángulo central e inscrito

Y así, el teorema queda demostrado.

Corolario

Si los puntos finales se mantienen, entonces el ángulo inscrito es siempre el mismo, sin importar en qué parte del círculo esté:

ángulos inscritos iguales

Por lo tanto, los ángulos subtendidos por el mismo arco son iguales.

Esto se suele llamar el Teorema de los ángulos subtendidos por el mismo arco, pero se desprende directamente del Teorema del Ángulo Central, por lo que es un corolario.

Corolario (Caso especial): Ángulo en un semicírculo

En el caso especial donde el ángulo central forma un diámetro del círculo:

ángulo central ángulo en semicírculo de 90 grados

2a° = 180° , por lo que a° = 90°

Así que un ángulo inscrito en un semicírculo es siempre un ángulo recto.

Otro ejemplo, relacionado con el Teorema de Pitágoras:

Ejemplo: Pitágoras

Teorema

Si m y n son dos números enteros cualesquiera y:

a = m² − n²
b = 2mn
c = m² + n²

entonces

a² + b² = c²

Demostración:

a² + b² = (m² − n²)² + (2mn)² = m⁴ − 2m²n² + n⁴ + 4m²n² = m⁴ + 2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² = c²

Corolario

a, b y c, definidos como arriba, son una Terna Pitagórica.

Esto se sigue directamente del teorema.

Ejemplo (Un caso específico)

Si m = 2 y n = 1, entonces:

a = 2² − 1² = 4 − 1 = 3
b = 2 × 2 × 1 = 4
c = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

Así que 3, 4 y 5 forman una terna pitagórica.