La Regla del Producto
La regla del producto nos dice cómo derivar el producto de dos funciones:
(fg)’ = fg’ + gf’
Nota: el apóstrofo ’ significa "Derivada de", y f y g son funciones.
Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)sin(x) ?
La Regla del Producto dice:
(fg)’ = f g’ + f’ g
En nuestro caso:
- f = cos(x)
- g = sin(x)
Sabemos (por las Reglas de Derivación):
- cos(x)' = −sin(x)
- sin(x)' = cos(x)
Así que:
la derivada de cos(x)sin(x) = cos(x)cos(x) −
sin(x)sin(x)
= cos2(x) − sin2(x)
¿Por qué funciona?
Cuando multiplicamos dos funciones f(x) y g(x) el resultado es el área fg:
Cuando aumentamos x en una pequeña cantidad, tanto f como g también
cambiarán un poco (dichos cambios son Δf y Δg). En este caso ambas
aumentan haciendo el área más grande.
¿Cuánto más grande?
Incremento en el área = Δ(fg) = fΔg + ΔfΔg + gΔf
A medida que el cambio en x se dirige hacia cero, el término "ΔfΔg" también se dirige a cero, y obtenemos:
(fg)’ = fg’ + gf’
Notación Alternativa
Una forma alternativa de escribirla (llamada notación de Leibniz) es:
ddx(uv) = dudxv + udvdx
Aquí está nuestro ejemplo usando la notación de Leibniz:
Ejemplo: ¿cuál es la derivada de cos(x)sin(x) ?
Esto:
ddx(uv) = udvdx + vdudx
Se convierte en:
ddx(cos(x)sin(x)) = cos(x)d(sin(x))dx + sin(x)d(cos(x))dx
De las reglas de derivación:- ddxsin(x) = cos(x)
- ddxcos(x) = −sin(x)
ddx(cos(x)sin(x)) = cos(x) cos(x) + −sin(x) sin(x)
Lo cual, al simplificarlo, queda así:
ddx(cos(x)sin(x)) = cos2(x) − sin2(x)
Tres Funciones
Para tres funciones multiplicadas juntas hacemos esto:
(fgh)’ = f’gh + fg’h + fgh’
