Reglas de Derivación

La Derivada nos dice la rapidez de cambio de una función en cualquier punto, la cual se puede visualizar geométricamente como la pendiente en cualquier punto.

ejemplos de pendientes y=3, pendiente=0; y=2x, pendiente=2

Hay reglas que podemos seguir para encontrar muchas derivadas.

Por ejemplo:

Aquí hay reglas útiles que te ayudarán a calcular las derivadas de muchas funciones (con ejemplos más adelante). Nota: la pequeña marca significa "Derivada de", y f y g son funciones.

Funciones comunes Función Derivada
Constantes c 0
Líneas rectas x 1
  ax a
Potencia cuadrada x2 2x
Raíz cuadrada √x (½)x
Exponenciales ex ex
  ax ln(a) ax
Logaritmos ln(x) 1/x
  loga(x) 1 / (x ln(a))
Trigonométricas (x en radianes) sin(x) cos(x)
  cos(x) −sin(x)
  tan(x) sec2(x)
Trigonométricas Inversas sin-1(x) 1/√(1−x2)
  cos-1(x) −1/√(1−x2)
  tan-1(x) 1/(1+x2)
     
Reglas Función Derivada
Multiplicación por una constante cf cf’
Regla de las Potencias xn nxn−1
Regla de Suma f + g f’ + g’
Regla de Resta f − g f’ − g’
Regla del Producto fg f g’ + f’ g
Regla del Cociente f/g (f’ g − g’ f )/g2
Regla del Recíproco 1/f −f’/f2
     
Regla de la Cadena
(con "Composición de Funciones")
f º g (f’ º g) × g’
Regla de la Cadena (usando ’ ) f(g(x)) f’(g(x))g’(x)
Regla de la Cadena (usando d dx ) dy dx = dy du du dx

"La derivada de" también se escribe como d dx

En consecuencia, tanto d dx sin(x) como sin(x)’ significan "La derivada de sin(x)"

Ejemplos

Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de sin(x)?

De la tabla anterior, se sabe que es cos(x)

Se puede escribir como:

d/dxsin(x) = cos(x)

O también:

sin(x)’ = cos(x)

Regla General de las Potencias

Ejemplo: ¿Cuál es d/dxx3 ?

Nos preguntan "¿Cuál es la derivada de x3 ?"

Podemos usar la Regla de las Potencias, donde n=3:

d/dxxn = nxn−1

d/dxx3 = 3x3−1 = 3x2

(En otras palabras, la derivada de x3 es 3x2)

Por lo tanto, queda simplemente así:

regla de las potencias x^3 -> 3x^2
"multiplica por la potencia
luego resta 1 a la potencia"

También se puede utilizar en casos como este:

Ejemplo: ¿Cuál es d/dx(1/x) ?

1/x también es x-1

Podemos usar la Regla de las Potencias, donde n = −1:

d/dxxn = nxn−1

d/dxx−1 = −1x−1−1

= −x−2

= −1x2

Es decir, hicimos esto:

regla de las potencias x^-1 -> -x^-2
lo que se simplifica a −1/x2

Multiplicación por una constante

Ejemplo: ¿Cuál es d/dx5x3 ?

la derivada de cf = cf’

la derivada de 5f = 5f’

Sabemos (por la Regla de las Potencias) que:

d/dxx3 = 3x3−1 = 3x2

Por lo tanto:

d/dx5x3 = 5d/dxx3 = 5 × 3x2 = 15x2

Regla de la Suma

Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de x2+x3 ?

La Regla de la Suma nos dice:

la derivada de f + g = f’ + g’

Por lo tanto, podemos calcular cada derivada por separado y luego sumarlas.

Usando la Regla General de las Potencias:

Y finalmente:

la derivada de x2 + x3 = 2x + 3x2

Regla de la Resta

No tiene que ser siempre x, podemos diferenciar con respecto a, por ejemplo, v:

Ejemplo: ¿Cuál es d/dv(v3−v4) ?

La Regla de la Resta nos dice:

la derivada de f − g = f’ − g’

Por lo tanto, podemos calcular cada derivada por separado y luego restarlas.

Usando la Regla General de las Potencias:

Y finalmente::

la derivada de v3 − v4 = 3v2 − 4v3

Suma, resta, multiplicación por una constante y potencias

Ejemplo: ¿Cuál es d/dz(5z2 + z3 − 7z4) ?

Usando la Regla de las Potencias:

Luego:

d/dz(5z2 + z3 − 7z4) = 5 × 2z + 3z2 − 7 × 4z3 = 10z + 3z2 − 28z3

 

Regla del Producto

Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)sin(x) ?

La Regla del Producto dice:

la derivada de fg = f g’ + f’ g

En este caso:

Sabemos (de la tabla de arriba):

Por lo tanto:

la derivada de cos(x)sin(x) = cos(x)cos(x) − sin(x)sin(x)

= cos2(x) − sin2(x)

 

Regla del Cociente

Para ayudarte a recordar

(fg)’ = gf’ − fg’g2

La derivada de "Arriba entre Abajo" es:

"Abajo d-Arriba menos Arriba d-Abajo, dividido todo entre el cuadrado de Abajo"

Otra forma de recordar la regla del cociente es recordar que la regla del cociente necesita un cociente, y queda así:

"La función de Abajo va abajo pero al cuadrado. Y arriba empezamos con la función de Abajo por la derivada de la de Arriba, menos la de Arriba por la derivada de la de Abajo"

Sin duda parece un poco complicada al inicio, pero con la práctica la recordarás fácilmente.

Ejemplo: ¿Cuál es la derivada de cos(x)/x ?

En este caso:

Sabemos (de la tabla de arriba):

Por lo tanto:

la derivada de cos(x)x = Abajo d-Arriba menos Arriba d-Abajodividido todo entre el cuadrado de Abajo

= x(−sin(x)) − cos(x)(1)x2

= −xsin(x) + cos(x)x2

 

Regla del Recíproco

Ejemplo: ¿Cuál es d/dx(1/x) ?

La Regla del Recíproco dice:

la derivada de 1f = −f’f2

y dado que f(x)= x, sabemos que f’(x) = 1

Por lo tanto:

la derivada de 1x = −1x2

Que es el mismo resultado que obtuvimos arriba usando la Regla de las Potencias.

Regla de la Cadena

Ejemplo: ¿Cuál es d dx sin(x2) ?

sin(x2) está compuesta por sin() y x2:

La Regla de la Cadena dice:

la derivada de f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)

Las derivadas individuales son:

Por lo tanto:

d dx sin(x2) = cos(g(x)) (2x)

= 2x cos(x2)

Otra forma de escribir la Regla de la Cadena es: dy dx = dy du du dx

Hagamos nuevamente el ejemplo anterior usando esa fórmula:

Ejemplo: ¿Cuál es d dx sin(x2) ?

dy dx = dy du du dx

Sea u = x2, por lo que y = sin(u):

d dx sin(x2) = d du sin(u) d dx x2

Deriva individualmente:

d dx sin(x2) = cos(u) (2x)

Sustituye de vuelta u = x2 y simplifica:

d dx sin(x2) = 2x cos(x2)

El mismo resultado que antes (¡gracias al cielo!)

Otros ejemplos de la Regla de la Cadena:

Ejemplo: ¿Cuál es d/dx(1/cos(x)) ?

1/cos(x) está compuesta por 1/g y cos():

La Regla de la Cadena dice:

la derivada de f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)

Las derivadas individuales son:

Por lo tanto:

(1/cos(x))’ = −1/(g(x))2 × −sin(x)

= sin(x)/cos2(x)

Nota: sin(x)/cos2(x) es lo mismo que tan(x)/cos(x), entre otras formas.

 

Ejemplo: ¿Cuál es d/dx(5x−2)3 ?

La Regla de la Cadena dice:

la derivada de f(g(x)) = f’(g(x))g’(x)

(5x-2)3 está compuesta por g3 y 5x-2:

Las derivadas individuales son:

Por lo tanto:

d/dx(5x−2)3 = 3g(x)2 × 5 = 15(5x−2)2

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).