Lógica Simbólica
Una proposición es una afirmación que puede clasificarse como verdadera o falsa.
Ejemplos:
- Bogotá es la capital de Colombia
- El Támesis es el río más largo del mundo
- 2 + 3 = 6
La primera afirmación es verdadera, mientras que la segunda y la tercera son falsas. Todas son proposiciones porque pueden evaluarse como verdaderas o falsas.
Las siguientes no son proposiciones:
- Léelo con cuidado (una orden, y no puede ser verdadera o falsa)
- ¿Qué estás haciendo? (una pregunta, y no puede ser verdadera o falsa)
- A + B = C (una expresión algebraica que necesita más información para determinar su valor de verdad)
El valor de verdad de una proposición se muestra con T para verdadero y F para falso.
Operaciones Lógicas
Las proposiciones suelen representarse por p y q, y usaremos estos símbolos de manera consistente en esta página.
Conjunción: La proposición ‘p y q’, denotada por ‘p ∧ q’, es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas, y es falsa en cualquier otro caso. La proposición p ∧ q se llama la conjunción de p y q.
| p | q | p ∧ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | F | |
| F | F | F |
Ejemplo: Evaluar una Conjunción
La afirmación: "Hoy es el día 21 del mes de mayo".
La afirmación es verdadera solo si es a la vez el día 21 del mes y el mes es mayo.
La proposición es falsa si se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:
- No es mayo y no es el día 21 del mes
- Es mayo pero no es el día 21
- Es el día 21 pero no es mayo
Disyunción: La proposición ‘p o q’, denotada por ‘p ∨ q’, es falsa solo cuando p y q son ambas falsas, y verdadera en cualquier otro caso. La proposición ‘p ∨ q’ se llama disyunción.
| p | q | p ∨ q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | T | |
| F | T | T | |
| F | F | F |
Ejemplo: Evaluar una Disyunción
Supongamos:
- p: "Es domingo"
- q: "Es un día lluvioso"
La afirmación "p ∨ q" es verdadera si es domingo, si llueve o ambas.
La afirmación es falsa solo si no es domingo ni llueve.
Negación: Sea p una proposición. ‘No p’ es otra proposición llamada negación de p. La negación de p se denota por ~p. La proposición ~p se lee como ‘no p’.
~p representa el valor de verdad opuesto al de p
| p | ~p | |
|---|---|---|
| T | F | |
| F | T |
Ejemplo: Comprender la Negación ~p
p es la proposición "Hoy es domingo".
La negación ~p es "Hoy no es domingo".
La negación también puede expresarse como "No es cierto que hoy sea domingo".
Operador Condicional: La implicación p→q es la proposición que solo es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y es verdadera en los demás casos.
En esta implicación, p se llama hipótesis (o antecedente o premisa) y q se llama conclusión (o consecuencia).
| p | q | p→q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | T | |
| F | F | T |
La proposición “p implica q”, escrita como “p → q”, es verdadera excepto cuando p es verdadera y q es falsa. Es como una promesa: si ocurre lo primero (p), entonces lo segundo (q) ocurrirá. A veces se dice simplemente "Si p, entonces q".
La proposición p→q se usa mucho en el razonamiento matemático y se expresa de varias maneras, como:
- Si p, entonces q
- p implica q
- p solo si q
- p es suficiente para q
- q si p
- q es necesario para p
Ejemplo: Enunciados Condicionales
Ejemplos:
- Si ABC es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A, entonces a2 = b2 + c2 (Teorema de Pitágoras)
- Si x = y y y = z, entonces x = z
- Si un número entero es múltiplo de 4, entonces es par
Profundicemos en un ejemplo:
Ejemplo: Contraseña (Condicional)
Si la contraseña es correcta, entonces concede el acceso.
Cuatro casos posibles:
- (TT) La contraseña es correcta y se concede el acceso (lo esperado)
- (TF) La contraseña es correcta pero no se concede el acceso (¡un error!)
- (FT) La contraseña es incorrecta pero se concede el acceso (parece incorrecto, pero no viola la proposición condicional que solo trata del caso verdadero)
- (FF) La contraseña es incorrecta y se niega el acceso (lo esperado)
El caso FT puede parecer extraño, pero lee más sobre el bicondicional a continuación.
Operador Bicondicional: Sean p y q dos proposiciones. El bicondicional p↔q es la proposición que es verdadera cuando p y q tienen el mismo valor de verdad y falsa en caso contrario.
| p | q | p↔q | |
|---|---|---|---|
| T | T | T | |
| T | F | F | |
| F | T | F | |
| F | F | T |
El bicondicional p↔q es verdadero cuando tanto p→q como q→p son verdaderos.
Suele expresarse como:
- p si y solo si q
- p es necesario y suficiente para q
- “si p entonces q” y viceversa
Ejemplos:
- Dos líneas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
- Dos triángulos son congruentes si y solo si tienen el mismo tamaño y forma, es decir, sus lados y ángulos correspondientes coinciden.
Ejemplo: Contraseña (Bicondicional)
Si y solo si la contraseña es correcta, entonces concede el acceso.
Una relación bicondicional significa que las partes “si” y “entonces” de la afirmación son ambas verdaderas o ambas falsas. Veamos el mismo escenario de la contraseña con esto en mente:
- (TT) La contraseña es correcta y se concede el acceso (lo esperado)
- (TF) La contraseña es correcta pero no se concede el acceso (¡un error!)
- (FT) La contraseña es incorrecta pero se concede el acceso (¡también un error!)
- (FF) La contraseña es incorrecta y se niega el acceso (lo esperado)
Con la relación bicondicional, que la contraseña sea correcta y que se conceda el acceso están estrechamente vinculados: deben ocurrir o no ocurrir juntos.
Converso, Inverso y Contrarrecíproco (o Contrapositivo)
El converso de una afirmación intercambia la hipótesis y la conclusión. Por ejemplo, el converso de “Si llueve, el suelo se moja” es “Si el suelo se moja, llueve”. Esto no es necesariamente verdadero porque hay otras razones por las que el suelo puede estar mojado.
Sean p y q dos proposiciones. p→q es una proposición condicional. La proposición q→p se llama el converso de p→q. La proposición ~p→~q se llama el inverso de la proposición. La proposición ~q→~p se llama el contrarrecíproco de la proposición p→q.
| p | q | p→q Condicional |
q→p Converso |
~p → ~q Inverso |
~q → ~p Contrarrecíproco |
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T | T | |
| T | F | F | T | T | F | |
| F | T | T | F | F | T | |
| F | F | T | T | T | T |
Una proposición condicional y su inverso pueden tener diferentes valores de verdad en algunos casos. Sin embargo, una proposición condicional y su contrarrecíproco siempre comparten el mismo valor de verdad, lo que las hace lógicamente equivalentes. Esto significa que son ambas verdaderas o ambas falsas bajo las mismas condiciones.
Ejemplo: Analizando Implicaciones
p: A es un cuadrado.
q: A es un rectángulo.
- p → q: Si A es un cuadrado, entonces A es un rectángulo
- q → p: Si A es un rectángulo, entonces A es un cuadrado
La implicación p → q es verdadera, pero q → p es falsa.
Ejemplo: Comprender los Contrarrecíprocos
p: x2 es impar.
q: x es impar.
~p: x2 es par.
~q: x es par.
En lógica, el contrarrecíproco de una proposición condicional "Si p, entonces q" es "Si ~q, entonces ~p". Importante: una proposición y su contrarrecíproco son lógicamente equivalentes, es decir, si una es verdadera, la otra también lo es.
Analicemos:
- La proposición original p → q significa: "Si x2 es impar (p), entonces x es impar (q)". Esto sugiere que un cuadrado impar implica un número base impar.
- El contrarrecíproco ~q → ~p significa: "Si x es par (~q), entonces x2 es par (~p)". Esto es lógicamente equivalente y más fácil de ver como verdadero.
¿Por qué es más fácil verificar el contrarrecíproco? Considera:
- Si x es par, multiplicarlo por sí mismo lo mantiene par (ej. 22 = 4, 4 es par)
- Por lo tanto, "Si x es par, entonces x2 es par" es claramente verdadero
Por lo tanto, dado que el contrarrecíproco ~q → ~p es verdadero, la proposición original p → q también es verdadera por equivalencia lógica.
Tautología y Contradicción
Una proposición compuesta que siempre es verdadera, sin importar los valores de verdad de las proposiciones que la componen, se llama Tautología.
Una proposición compuesta que siempre es falsa se llama Contradicción.
Una proposición que no es ni tautología ni contradicción se llama Contingencia.
Ejemplo: Tautología
La afirmación “Está lloviendo o no está lloviendo” es una tautología porque siempre es verdadera.
Ejemplo: Contradicción
La afirmación “Un cuadrado es un círculo” es una contradicción porque siempre es falsa.
