Hipérbola

trayectoria hiperbólica de una aeronave

¿Sabías que la órbita de una nave espacial a veces puede ser una hipérbola?

Una nave espacial puede usar la gravedad de un planeta para alterar su trayectoria y propulsarse a gran velocidad lejos del planeta y regresar al espacio utilizando una técnica llamada "asistencia gravitatoria" o "efecto honda".

Si esto sucede, entonces la trayectoria de la nave espacial es una hipérbola.

(Juega con esto en Simulador de Gravedad)

Definición

Una hipérbola son dos curvas que parecen arcos infinitos.

Mirando solo una de las curvas:

cualquier punto P está más cerca a F que a G por una cantidad constante

La otra curva es una imagen espejo y está más cerca de G que de F.

distancias en una hipérbola

En otras palabras, la distancia de P a F es siempre menor que la distancia de P a G por una cantidad constante. (Y para la otra curva P a G siempre es menor que P a F por esa misma cantidad constante).

Como fórmula:

|PF − PG| = constante

Cada arco se llama rama y F y G se llaman focos.

Pruébalo tú mismo:

Intenta mover el punto P: ¿qué notas sobre las longitudes PF y PG ?

También intenta poner el punto P en la otra rama.

También hay otras cosas interesantes:

focos de una hipérbola

En el diagrama puedes ver:

Y, siendo rigurosos, también hay otro eje de simetría que desciende por la mitad y separa las dos ramas de la hipérbola.

Sección cónica

También puedes obtener una hipérbola cuando cortas un cono doble.

El corte debe ser más inclinado que el de una parábola, pero no
tiene que ser paralelo al eje del cono para que la hipérbola sea simétrica.

De modo que la hipérbola es una sección cónica (una sección de un cono).

  hipérbola como una sección cónica

Ecuación

Al colocar la hipérbola en el plano x-y (centrada sobre el eje x y el eje y), la ecuación de la curva es:

x2a2y2b2 = 1

hipérbola en un plano x-y

También:

Un vértice se ubica en (a, 0), y el otro en (−a, 0)

Las asíntotas son las líneas rectas:

(Nota: la ecuación es similar a la ecuación del elipse: x2/a2 + y2/b2 = 1, excepto por un signo "−" en lugar de "+")

Excentricidad

Cualquier rama de una hipérbola también se puede definir como una curva donde las distancias de cualquier punto hacia:

están siempre en la misma proporción.

hipérbola foco y directriz

Esta proporción se llama excentricidad, y para una hipérbola siempre es mayor que 1.

La excentricidad (generalmente mostrada como la letra e) muestra cuán "no curva" (en relación a cuánto varía de ser un círculo) es la hipérbola.

hipérbola con puntos N P F

En este diagrama:

La excentricidad es la relación PF/PN y tiene la fórmula:

e = √(a2+b2)a

Usando "a" y "b" del diagrama de arriba.

Latus Rectum

hipérbola latus rectum

El Latus Rectum es la línea que pasa por el foco y es paralela a la directriz.

La longitud del Latus Rectum es 2b2/a.

1/x

función recíproca
¡La función recíproca y = 1/x es una hipérbola!

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).