Elipse
Una elipse es una circunferencia aplastada.
"F" y "G" son focos.
La distancia total de F - P - G permanece igual
En otras palabras, siempre recorremos la misma distancia cuando vamos del:
- punto "F"
- a cualquier punto en la elipse
- y luego al punto "G"
Dibújala
Clava dos alfileres en un tablero, y luego ...
pon un lazo de cuerda alrededor de ellos
pon un lápiz dentro del lazo
tensa la cuerda para formar un triángulo
...traza una curva.
¡Es una elipse!
Funciona porque la cuerda fuerza naturalmente la misma distancia del alfiler al lápiz al otro alfiler.
Una circunferencia es una elipse
Una circunferencia es un "caso especial" de
la elipse.
Definición
Una elipse es el conjunto
de todos los puntos de un plano cuya
suma de distancias a dos puntos fijos F y G es una constante.
Ejes mayor y menor
El eje mayor es el diámetro más largo. Va de un lado de la elipse, a través del centro, al otro lado, en la parte más ancha de la elipse. Y el eje menor es el diámetro más corto (en la parte más estrecha de la elipse).
El semi-eje mayor es la mitad del eje mayor y el semi-eje menor es la mitad del eje menor.
El eje mayor es f+g
¿Recuerdas que arriba dijimos que la distancia "f + g" permanece
igual para una elipse?
Bueno, f + g es igual a la longitud del eje mayor.
¿Puedes pensar por qué? (Intenta mover el punto P que está en la
parte superior).
Calculando
¡El área es fácil, el perímetro no!
Área
El área de una elipse es:
π × a × b
donde a es la longitud del semi-eje mayor y b es la longitud del semi-eje menor.
Sé cuidadoso: a y b se miden desde el centro, no en todo lo largo.
(Nota: para un círculo, a y b son iguales al radio y obtienes π × r × r = πr2, ¡lo cual sabemos que es correcto!)
Aproximación al perímetro
Aunque parezca extraño, el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular, así que he creado una página especial para ese tema: lee Perímetro de una Elipse para ver los detalles.
Pero una aproximación sencilla que está a menos de 5% del valor correcto (siempre que a no sea más de 3 veces b) es la siguiente:
Recuerda, esto es solo una aproximación. (Es por eso que el "signo igual" es ondulado).
Tangente
Una recta tangente simplemente toca una curva en un punto, sin cortarla. Aquí hay una tangente a una elipse:
Aquí hay algo interesante: ¡la línea tangente tiene ángulos iguales con las dos líneas que van a cada foco! Intenta juntar los dos focos (para que la elipse sea un círculo) ... ¿qué notas?
Reflexión
La luz o el sonido que comienza en un foco se refleja en el otro foco (porque el ángulo de entrada coincide con el ángulo de salida):
Juega con este sencillo modelo computacional de las reflexiones dentro de una elipse.
Excentricidad
La excentricidad es una medida
de cuán "des-redondeada" es la elipse.
La fórmula (usando el eje semi-mayor y semi-menor) es:
√(a2−b2)a
Sección de un cono
También sale una elipse cuando cortas un cono (con un ángulo pequeño, ya que si no, obtendrías una parábola o hipérbola).
Por tanto, la elipse es una sección cónica (una sección de un cono) con una excentricidad entre 0 y 1.
Ecuación
Al poner una elipse en un plano x-y (con su eje mayor en el eje-x y eje menor en el eje-y), la ecuación de la curva es:
x2a2 + y2b2 = 1
(similar a la ecuación de la hipérbola: x2/a2 − y2/b2 = 1, excepto por un signo "+" en lugar de "−")
O podemos usar una "ecuación paramétrica", donde tenemos otra variable "t" y calculamos x y y a partir de ella, así:
- x = a cos(t)
- y = b sin(t)
(Imagínate "t" pasando de 0° a 360°, ¿qué valores de x y y obtendríamos?)
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
