Media Proporcional

... y las reglas de la Altura y de los Catetos

Media Proporcional

La media proporcional de a y b es el siguiente valor de x:

ax  =  xb

"a es a x, como x es a b"

Parece un poco difícil de resolver, ¿no?

Pero cuando nosotros multiplicamos cruzado (es decir, multiplicamos ambos lados por b y también por x) obtenemos:

ax  =  xb

flecha

abx  =  x

flecha ab  =  x2

Y ahora podemos resolver x:

x  =  √(ab)

Ejemplo: ¿Cuál es la media proporcional de 2 y 18?

Se nos pregunta "¿Cuál es el valor de x aquí?"

2x  =  x18

"2 es a x, como x es a 18"

Sabemos cómo solucionarlo:

x = √(2×18) = √(36) = 6

Y esto es con lo que terminamos:

26  =  618

Básicamente dice que el 6 es el "valor en medio de las multiplicaciones". (2 por 3 es 6, 6 por 3 es 18)

media proporcional 2 x3= 6 x3= 18

(También es la media geométrica de los dos números).

Un ejemplo más para que tengas una idea sólida:

Ejemplo: ¿Cuál es la media proporcional de 5 y 500?

x = √(5×500)

x = √(2500) = 50

Entonces es así:

media proporcional  5 x10= 50 x10= 500

 

media proporcional triángulos similares

Triángulos en ángulo recto

Podemos usar la media proporcional con triángulos rectángulos.

Primero, algo interesante:

¡Esos dos nuevos triángulos son semejantes entre sí, y al triángulo original!

Esto se debe a que todos tienen los mismos tres ángulos.

Pruébalo tú mismo: corta un triángulo rectángulo de una hoja de papel, luego córtalo a través de la altura y mira si las piezas son realmente similares.

Podemos usar este conocimiento para resolver algunas cosas.

De hecho tenemos dos reglas:

Regla de la altura

La altura es la media proporcional entre las partes izquierda y derecha de la hipotenusa, así:

media proporcional izquierda/altura = altura/derecha

Ejemplo: Encuentra la altura h (AD)

media proporcional 4.9 h 10

Usa la regla de la altura

izquierdaaltura  =  alturaderecha

Con los datos que tenemos es:

4.9h  =  h10

Ahora despejamos h:

h2 = 4.9 × 10 = 49
h = √49 = 7

Regla de los catetos

Cada cateto del triángulo es la media proporcional entre la hipotenusa y la parte de la hipotenusa directamente debajo del cateto:

media proporcional hip/cat = cat/part   and   media proporcional hip/cat= cat/part

Ejemplo: ¿Cuánto es x (la longitud del cateto AB)?

media proporcional x 9 7

Primero encuentra la hipotenusa: BC = BD + DC = 9 + 7 = 16

Ahora usa la regla de los catetos:

hipotenusacateto  =  catetoparte izq

Con los datos que tenemos es:

16x  =  x9

Ahora despejamos x:

x2 = 16 × 9 = 144
x = √144 = 12

Aquí hay un ejemplo del mundo real:

media proporcional deltoide PO es 80, OR es 180

Ejemplo: ¡A Lizeth le encantan las cometas!

 

Lizeth quiere hacer una cometa realmente grande:


 
Lizeth quiere saber la longitud del puntal QS y también la longitud de cada lado.

Solo necesitamos mirar la mitad de la cometa para hacer los cálculos. Aquí está la mitad izquierda rotada 90° en sentido horario.

media proporcional triángulo p, r, h, 180 y 80

Usamos la regla de la altura para hallar h:

h2 = 180 × 80 = 14400
h = √14400 = 120 cm

Entonces, toda la longitud del puntal QS = 2 × 120 cm = 240 cm

 

La longitud RP = RO + OP = 180 cm + 80 cm = 260 cm

Ahora usa la regla de los catetos para encontrar r (cateto QP):

r2 = 260 × 80 = 20800
r = √20800 = 144 cm redondeado a cm

 

Usa nuevamente la regla de los catetos para hallar p (cateto QR):

p2 = 260 × 180 = 46800
p = √46800 = 216 cm redondeado a cm

 

Dile a Lizeth que el puntal QS será de 240 cm y los lados serán 144 cm y 216 cm.

¡No podrá esperar a un día con mucho viento!

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).