La función Gamma
La función Gamma sirve como una versión súper poderosa de la función factorial, extendiéndola más allá de los números naturales.
Primero veamos la función factorial:
 |
La función factorial (símbolo: !) indica la multiplicación de todos los números enteros desde un número dado, descendiendo hasta el número 1. Ejemplos:
|
Es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:
En una tabla:
| n | n! | ||
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 × 1 | = 2 × 1! | = 2 |
| 3 | 3 × 2 × 1 | = 3 × 2! | = 6 |
| 4 | 4 × 3 × 2 × 1 | = 4 × 3! | = 24 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | = 5 × 4! | = 120 |
| 6 | etc. | etc. |
Así que la regla es:
n! = n × (n−1)!
Lo que significa
Ejemplos:
10! = 10 × 9!
125! = 125 × 124!
etc.
Esto se llama "relación de recurrencia".
Más allá de los números enteros
¿Podemos tener una función que funcione de manera más general?
Si es así, ¿qué propiedades queremos?
En primer lugar, debería "dar en el blanco" en cada número entero:
f(x) = x! para números enteros
Aquí hay algunos ejemplos que hacen eso:
Líneas rectas
Todo vale
Suave
A continuación, queremos que esto se cumpla:
f( z ) = z f( z −1) entre los números enteros
f(b) = b f(b−1)
Ejemplo: f(2.62) = 2.62 × f(1.62)
Y también necesitamos una condición especial para mantenerla suave llamada "logarítmicamente convexa", es decir, que la composición del logaritmo con nuestra función debe ser convexa.
Una curva suave hace que nuestra función se comporte de manera predecible, lo cual es importante en áreas como la física y la probabilidad.
Se han descubierto muchas funciones con esas propiedades. Cada una de ellas tiene puntos buenos y malos.
La que más gusta se llama Función Gamma (Γ es la letra mayúscula griega Gamma):Es una integral definida de cero a infinito.
Coincide con la función factorial para números enteros (pero lamentablemente debemos restar 1):
Por lo tanto:
- Γ(1) = 0!
- Γ(2) = 1!
- Γ(3) = 2!
- etc.
Veamos cómo usarla.
Veamos el caso n=1
Γ(1)
Bien hasta ahora, pero ¿funciona en general (z no restringido a números enteros)?
Probemos:
Podemos usar integración por partes con u=xz y v=e−x. Hay muchos pasos, pero los puntos clave son:
Debido a que −xz e−x va a 0 cuando z tiende a infinito, podemos simplificarlo a:
Y la integral restante es en realidad la Función Gamma para z, entonces:
Entonces funciona en general.
Y aquí hay una gráfica de la función Gamma:
Funciona en todas partes excepto en x=0 y números enteros inferiores porque
- Γ(0) = Γ(1)/0 está indefinido (dividir entre cero),
- y entonces Γ(−1) = Γ(0)/−1 también está indefinido
- etc.
Intenta comparar dos valores en la gráfica que están separados por 1 en el eje x y mira si es cierto que Γ(z+1) = z Γ(z)
Complejo
La función Gamma también funciona para números complejos siempre que la parte real sea mayor que 0.
Mitad
Podemos calcular la función gamma a la mitad (¡bastantes pasos!) para obtener un resultado sorprendente:
Γ(12) = √π
Sabiendo que Γ(z+1) = z Γ(z) obtenemos estos factoriales de "mitad de enteros":
| Gamma | Γ(z+1) = z Γ(z) | Factorial | |
| Γ(12) | √π | (−12)! | |
| Γ(32) | = 12Γ(12) = | 12√π | (12)! |
| Γ(52) | = 32Γ(32) = | 34√π | (32)! |
| Γ(72) | = 52Γ(52) = | 158√π | (52)! |
| ... | ... | ... | ... |
Comprueba también si la gráfica anterior los explica correctamente.
Aplicaciones
Al igual que la función Factorial, la función Gamma tiene muchos usos en combinatoria, probabilidad y estadística. También es muy útil en Cálculo y Física.
Ahí lo tienes: la función gamma puede ser un poco difícil de calcular, pero extiende claramente la función factorial más allá de los números enteros.
