Funciones Homogéneas
Homogénea
Para que una función sea Homogénea debe pasar esta prueba:
f(zx,zy) = znf(x,y)
En otras palabras
multiplicar cada variable por z: f(zx, zy)
y luego reacomodarla así: zn f(x, y)
Un ejemplo será de ayuda:
Ejemplo: x + 3y
Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = zx + 3zy
Reacomodemos al factorizar z: f(zx,zy) = z(x + 3y)
Y x + 3y es f(x,y): f(zx,zy) = zf(x,y)
Queda lo que queríamos, con n=1: f(zx,zy) = z1f(x,y)
¡Sí, x+3y es homogénea!
El valor de n se llama el grado. Entonces en el ejemplo anterior el grado es 1.
Ejemplo: 4x2 + y2
Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = 4(zx)2 + (zy)2
Queda: f(zx,zy) = 4z2x2 + z2y2
Factoriza z2: f(zx,zy) = z2(4x2 + y2)
Y 4x2 + y2 es f(x,y): f(zx,zy) = z2f(x,y)
Sí, 4x2 + y2 es homogénea.
Y su grado es 2.
¿Qué tal este?
Ejemplo: x3 + y2
Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = (zx)3 + (zy)2
Queda: f(zx,zy) = z3x3 + z2y2
Factoriza z2: f(zx,zy) = z2(zx3 + y2)
¡Pero zx3 + y2 NO es f(x,y)!
Por lo que x3 + y2 NO es homogénea.
Y observa que x y y tienen diferentes potencias: x3 y y2 lo cual, para funciones polinomiales, suele ser una buena prueba.
Pero no todas las funciones son polinomios. Que tal esta:
Ejemplo: la función x cos(y/x)
Multiplica cada variable por z: f(zx,zy) = zx cos(zy/zx)
Queda: f(zx,zy) = zx cos(y/x)
Factoriza z: f(zx,zy) = z(x cos(y/x))
Y x cos(y/x) es f(x,y): f(zx,zy) = z1f(x,y)
Por lo tanto, x cos(y/x) es homogénea, con grado 1.
Observa que (y/x) es "válido" porque (zy/zx) se simplifica de nuevo a (y/x)
Homogénea, en español, significa "del mismo tipo" o "uniforme".
Por ejemplo, la "leche homogeneizada" tiene las partes grasas
distribuidas uniformemente a través de la leche (en lugar de tener
leche con una capa de grasa en la parte superior).
El término homogéneo también puede aplicar a funciones como f(x), f(x,y,z) etc., es una idea general.
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Una Ecuación Diferencial es homogénea cuando se puede escribir en esta forma:
En otras palabras, cuando puede ser así:
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0
Y tanto M(x,y) como N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado.
Aprende más sobre esto en la página sobre Resolver Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.
