Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

ecuación diferencial dy/dx = 5xy
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx

Aquí veremos un método especial para resolver "Ecuaciones Diferenciales Homogéneas"

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Una Ecuación Diferencial de Primer Orden es Homogénea cuando puede expresarse en esta forma:

dy dx = F( y x )

La podemos resolver usando Separación de Variables pero antes necesitamos crear una nueva variable v = y x

v = y x   que es lo mismo que   y = vx
Y se tiene que dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx (por la Regla del Producto)
Lo cual se puede simplificar así: dy dx = v + x dv dx

Si usamos y = vx y  dy dx = v + x dv dx podemos resolver la Ecuación Diferencial.

Un ejemplo mostrará cómo se hacen todos los pasos:

Ejemplo: Resuelve dy dx = x2 + y2xy

¿Podemos ponerla en la forma F ( y x) ?

Comienza con: x2 + y2 xy Separa los términos: x2 xy + y2 xy Simplifica: x y + y x Recíproco del primer término:( y x )−1 + y x

Sí, tenemos una función de (y/x).

Manos a la obra:

Comienza con: dy dx = ( y x )−1 + y x y = vx y  dydx = v + x dvdx:v + x dv dx = v−1 + v
Resta v de ambos lados:x dv dx = v−1

Ahora usa Separación de Variables:

Separa las variables:v dv = 1 x dx Pon los signos de integración:∫v dv = ∫ 1 x dx Integra: v2 2 = ln(x) + C Haz C = ln(k): v2 2 = ln(x) + ln(k) Combina los logaritmos: v2 2 = ln(kx) Simplifica:v = ±√(2 ln(kx))

Sustituye de vuelta v = y x

Sustituye v = y x : y x = ±√(2 ln(kx))
Simplifica:y = ±x √(2 ln(kx))

Hemos encontrado la solución.

La parte positiva se ve así:

y = x por raíz cuadrada de (2 ln(kx))

 

Otro ejemplo:

Ejemplo: Resuelve dy dx = y(x−y) x2

¿Podemos ponerla en la forma F ( y x) ?

Comienza con: y(x−y) x2 Separa los términos: xy x2 − y2 x2 Simplifica: y x − ( y x )2

¡Sí! Manos a la obra:

Comienza con: dy dx = y x − ( y x )2 y = vx y  dy dx = v + x dvdx v + x dv dx = v − v2
Resta v de ambos lados:x dv dx = −v2

Ahora usa Separación de Variables:

Separa las variables:− 1 v2 dv = 1 x dx Pon los signos de integración:∫− 1 v2 dv = ∫ 1 x dx Integra: 1 v = ln(x) + C Haz C = ln(k): 1 v = ln(x) + ln(k)
Combina los logaritmos: 1 v = ln(kx)
Simplifica:v = 1 ln(kx)

Sustituye de vuelta v = y x

Sustituye v = y x : y x = 1 ln(kx)
Simplifica:y = x ln(kx)

Hemos encontrado la solución.

Aquí hay algunos valores de muestra para k:

y = x / ln(kx)

Un último ejemplo:

Ejemplo: Resuelve dy dx = x−y x+y

¿Podemos ponerla en la forma F ( y x) ?

Comienza con: x−y x+y Divide todo entre x: x/x−y/x x/x+y/x Simplifica: 1−y/x 1+y/x

¡Sí! Manos a la obra:

Comienza con: dy dx = 1−y/x 1+y/x y = vx y  dy dx = v + x dvdx v + x dv dx = 1−v 1+v
Resta v de ambos lados:x dv dx = 1−v 1+v − v
Luego:x dv dx = 1−v 1+v − v+v2 1+v
Simplifica:x dv dx = 1−2v−v2 1+v

Ahora usa Separación de Variables:

Separa las variables: 1+v 1−2v−v2 dv = 1 x dx
Pon los signos de integración:∫ 1+v 1−2v−v2 dv = ∫ 1 x dx
Integra:− 1 2 ln(1−2v−v2) = ln(x) + C
Haz C = ln(k):− 1 2 ln(1−2v−v2) = ln(x) + ln(k)
Combina y resuelve los logaritmos:(1−2v−v2)−½ = kx
Eleva al cuadrado y toma el recíproco:1−2v−v2 = 1 k2x2

Sustituye de vuelta v = y x

Sustituye v = y x :1−2( y x )−( y x )2 = 1 k2x2
Multiplica todo por x2:x2−2xy−y2 = 1 k2

Ya casi lo tenemos... Sería bueno despejar y
Podemos intentar factorizar x2−2xy−y2 pero antes debemos reacomodar un poco:

Cambio de signos:y2+2xy−x2 = − 1 k2 Reemplaza − 1 k2 por c:y2+2xy−x2 = c
Suma 2x2 a ambos lados:y2+2xy+x2 = 2x2+c
Factoriza:(y+x)2 = 2x2+c
Raíz cuadrada:y+x = ±√(2x2+c)
Resta x de ambos lados:y = ±√(2x2+c)− x

Hemos encontrado la solución.

La parte positiva se ve así:

y = raíz cuadrada de (2x^2+c) - x

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).

9419,9420,9421,9422,9423,9424,9425,9426,9427,9428
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