Ecuaciones Diferenciales - Introducción
Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada
dy dx
Resolver
La resolvemos cuando descubrimos la función y (o el
conjunto de funciones y).
Hay muchos "trucos" para resolver Ecuaciones Diferenciales (¡si
es que acaso se pueden resolver!).
Pero primero: ¿para qué?
¿Por qué son útiles las Ecuaciones Diferenciales?
En nuestro mundo las cosas cambian, y describir cómo cambian a menudo se representa mediante una Ecuación Diferencial:
Ejemplo: ¡Conejos!
Cuantos más conejos adultos tengamos, más conejitos tendremos.
¡Luego esos conejitos crecerán y también tendrán bebés! La población
crecerá cada vez más rápido.
Las partes importantes de esto son:
- la población N en un tiempo t
- la tasa de crecimiento r
- la tasa de cambio de la población dNdt
Piensa en dNdt como "cuánto cambia la población a medida que cambia el tiempo, en cualquier momento".
Imaginemos que la tasa de crecimiento r es 0.01
conejos nuevos por semana por cada conejo actual.
Cuando la población es 1000, la tasa de cambio dNdt es 1000×0.01 = 10 nuevos conejos por
semana.
Pero eso solo es cierto en un momento específico y
no incluye que la población está aumentando constantemente. ¡Cuánto
mayor sea la población, más conejos nuevos tendremos!
Cuando la población es 2000, se tiene 2000×0.01 = 20 nuevos
conejos por semana, etc.
Así que es mejor decir que la tasa de cambio (en cualquier instante) es la tasa de crecimiento multiplicada por la población en ese instante:
dNdt = rN
Y esa es una Ecuación Diferencial, porque tiene una función, N(t), y su derivada.
¡Qué poderosas son las matemáticas! Esa breve ecuación dice que "la tasa de cambio de la población a lo largo del tiempo es igual a la tasa de crecimiento multiplicada por la población".
Las Ecuaciones Diferenciales pueden describir cómo cambian las poblaciones, cómo se transfiere el calor, cómo vibran los resortes, cómo se desintegra el material radiactivo y mucho más. Son una forma muy natural de describir muchas cosas en el universo.
¿Qué hacer con ellas?
Por sí sola, una Ecuación Diferencial es una manera maravillosa de
expresar algo, pero es difícil de usar.
Entonces tratamos de resolverla, convirtiendo
la Ecuación Diferencial en una ecuación más simple sin las partes
diferenciales, para que podamos hacer cálculos, hacer gráficos, predecir
el futuro, etc.
Ejemplo: Interés Compuesto
El dinero genera intereses. El interés puede calcularse en plazos fijos, también llamados periodos, como anual, mensual, etc.
Y si después de un periodo se suma el interés al monto original y luego se calcula el interés para el siguiente periodo, se llama interés compuesto.
Y cuando se compone continuamente, en cualquier momento el
interés se agrega en proporción al valor actual del préstamo (o
inversión).
Y a medida que el préstamo crece, gana más intereses.
Sea t para el tiempo, r para la tasa de interés y V
para el valor actual del préstamo:
dVdt = rV
Y aquí hay algo interesante: ¡es la misma que la ecuación que obtuvimos con los conejos! Simplemente tiene letras diferentes. Por lo tanto, las matemáticas nos están mostrando que estas dos situaciones se comportan igual.
Resolviendo
La Ecuación Diferencial lo dice todo muy bien, pero es difícil de
usar.
Pero no te preocupes, se puede resolver (usando un método especial
llamado Separación
de Variables) y da como resultado:
V = Pert
Donde P es el Principal (el préstamo original), y e es el Número de Euler.
Por lo tanto, un préstamo compuesto continuamente de $1,000 durante 2 años a una tasa de interés del 10% se convierte en:
De modo que las Ecuaciones Diferenciales son excelentes para describir cosas, pero deben resolverse para ser útiles.
Más Ejemplos de Ecuaciones Diferenciales
La Ecuación de Verhulst
Ejemplo: ¡Otra vez conejos!
Recordemos nuestra Ecuación Diferencial de crecimiento poblacional:
dNdt = rN
Bueno, ese crecimiento no puede continuar para siempre, ya que pronto
se quedarán sin alimentos disponibles.
Así que mejoremos la ecuación incluyendo:
- la población máxima para la cual habría alimentos suficientes, k
Un hombre llamado Verhulst analizó todo muy bien y para agregar esta restricción adecuadamente planteó esta Ecuación Diferencial:
dNdt = rN(1−N/k)
La ecuación de Verhulst
Movimiento armónico simple
En física, el movimiento armónico simple es un tipo de movimiento periódico en el que la fuerza de restauración es directamente proporcional al desplazamiento. Un ejemplo de esto lo proporciona una masa en un resorte.
Ejemplo: Masa y Resorte
A un resorte se le coloca una masa:
- el peso tira hacia abajo debido a la gravedad,
- a medida que el resorte se estira, aumenta su tensión,
- el peso se ralentiza,
- luego la tensión del resorte lo tira hacia arriba,
- luego vuelve a caer, arriba y abajo, una y otra vez.
¡Describe esto usando matemáticas!
La masa es atraída por la gravedad, y sabemos por la Segunda Ley de Newton que fuerza es igual a la masa por la aceleración:
F = ma
Y la aceleración es la segunda derivada de la posición con respecto al tiempo, por lo que:
F = m d2xdt2
El resorte atrae la masa hacia arriba dependiendo de lo estirado que esté (k es la rigidez del resorte y x es cuán estirado está): F = −kx
Las dos fuerzas son siempre iguales:
m d2xdt2 = −kx
¡Tenemos una ecuación diferencial!Tiene una función x(t) y su segunda derivada d2x dt2
Nota: en la ecuación no hemos incluido "amortiguación" (la ralentización de los rebotes debido a la fricción), porque sería un poco más complicada, pero puedes jugar con la amortización aquí. Pulsa iniciar y estira o comprime el resorte:
La creación de una ecuación diferencial es el primer paso importante. Pero también debemos resolverla para descubrir, por ejemplo, cómo rebota el resorte hacia arriba y hacia abajo con el tiempo.
Clasifica Antes de Intentar Resolver
Entonces, ¿cómo las resolvemos?
¡No siempre es fácil!
A lo largo de los años, las personas sabias han elaborado métodos
especiales para resolver algunos tipos de
Ecuaciones Diferenciales.
Por lo que primero necesitamos saber qué tipo de
Ecuación Diferencial es.
Es como viajar: diferentes tipos de transporte han resuelto la
manera de llegar a determinados lugares. ¿Está cerca para que podamos
caminar? ¿Hay una carretera para que podamos emplear un automóvil? ¿O
está en otra galaxia y todavía no podemos llegar allí?
Así que primero clasifiquemos la Ecuación Diferencial.
Ordinarias o Parciales
La primera manera de clasificarlas es en estos dos grupos:
- "Ecuaciones Diferenciales Ordinarias" (EDOs), las cuales tienen una sola variable independiente (como y)
- "Ecuaciones Diferenciales Parciales" (EDPs), las cuales tienen dos o más variables independientes.
¡Aquí estamos aprendiendo sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias!
Orden y Grado
A continuación podemos clasificar por el Orden y el Grado:
Orden
El orden es la derivada más alta (¿es una primera derivada? ¿una segunda derivada? etc):
Ejemplo:
dydx + y2 = 5x
Tiene solo la primera derivada dy dx, por lo que es de "Primer Orden"
Ejemplo:
d2ydx2 + xy = sin(x)
Esta tiene una segunda derivada d2y dx2 , por lo que es de "Orden 2"
Ejemplo:
d3ydx3 + xdydx + y = ex
Esta tiene una tercera derivada d3y dx3 que supera a dy dx, por lo que es de "Orden 3"
Grado
El grado es el exponente de la derivada más alta.
Ejemplo:
(dydx)2 + y = 5x2
La derivada más alta es simplemente dy/dx, y tiene un exponente de 2,
por lo que es "Segundo Grado".
De hecho es una Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo
Grado de Primer Orden.
Ejemplo:
d3ydx3 + (dydx)2 + y = 5x2
La derivada más alta es d3y/dx3, pero no tiene
exponente (bueno, en realidad tiene un exponente de 1 que no se
muestra), así que este es "Primer Grado".
(El exponente de 2 en dy/dx no cuenta, ya que no es la derivada más
alta).
Por lo que es una Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer
Grado de Tercer Orden
Ten cuidado de no confundir orden con grado. ¡Algunas personas usan la palabra orden cuando se refieren al grado!
Lineal
Es lineal cuando la variable (y sus derivadas) no tienen exponente u otra función.
Por lo que no hay y2, y3, √y, sin(y), ln(y), etc., tan solo hay y (o cualquiera que sea la variable).
Más formalmente, una Ecuación Diferencial Lineal tiene la forma:
dydx + P(x)y = Q(x)
Resolver
OK, una vez que hemos clasificado nuestra Ecuación Diferencial, el
siguiente paso es resolverla.
Y tenemos una Guía Para
Resolver Ecuaciones Diferenciales para ayudarte.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
