Guía Para Resolver Ecuaciones Diferenciales
Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx
En nuestro mundo las cosas cambian, y describir cómo cambian
a menudo termina expresándose mediante una Ecuación Diferencial.
Los ejemplos del mundo real donde se utilizan Ecuaciones Diferenciales
incluyen el crecimiento de la población, la electrodinámica, el flujo
del calor, el movimiento planetario, los sistemas económicos y mucho
más.
Resolver
Como se comentó, una Ecuación Diferencial puede ser una forma muy natural de describir algo.
Ejemplo: Crecimiento poblacional
Aquí decimos que una población "N" cambia (en cualquier instante) en función de la tasa de crecimiento multiplicada por la población en ese instante:
dNdt = rN
Pero no es muy útil tal como está.
¡Necesitamos resolverla!
La resolvemos cuando descubrimos la función y (o el
conjunto de funciones y) que satisface la ecuación.
Ejemplo: (continuación)
Nuestro ejemplo se resuelve con esta ecuación:
N(t) = N0ert
que en realidad se puede usar así:Una población que comienza en 1000 (N0) con una tasa de crecimiento del 10% por mes (r) crecerá hasta
- 1000e0.1x1 = 1105 en 1 mes
- 1000e0.1x6 = 1822 en 6 meses
- etc.
No existe una fórmula mágica para resolver todas las Ecuaciones Diferenciales.
Pero a lo largo de los milenios, las grandes mentes
se han basado en el trabajo de las demás y han descubierto diferentes
métodos (¡posiblemente largos y complicados!) para resolver algunos
tipos de Ecuaciones Diferenciales.
Así que echemos un vistazo a algunos de los diferentes tipos de Ecuaciones Diferenciales y cómo resolverlos.
Separación de Variables
La Separación de Variables puede usarse cuando:
- Todos los términos con y (incluyendo dy) pueden moverse a un lado de la ecuación, y
- Todos los términos con x (incluyendo dx) al otro lado.
Si ese es el caso, entonces podemos integrar y simplificar para obtener la solución.
Ecuación Lineal de Primer Orden
Las Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden son de este tipo:
Donde P(x) y Q(x) son funciones de x.
Son de “Primer Orden” cuando solo aparece dydx (no d2ydx2 ni d3ydx3, etc.)
Nota: una ecuación diferencial no lineal suele ser difícil de resolver, pero a veces podemos aproximarla con una ecuación diferencial lineal para encontrar una solución más sencilla.
Ecuaciones Homogéneas
Las Ecuaciones Diferenciales Homogéneas tienen esta forma:
Podemos resolverlas usando un cambio de variable:
v = yx
y luego resolverla usando Separación de Variables.
Ecuación de Bernoulli
Las Ecuaciones de Bernoulli son de esta forma general:
dydx
+ P(x)y = Q(x)yn
donde n es cualquier número real excepto 0 o 1.
- Cuando n = 0 la ecuación puede resolverse como una ecuación diferencial lineal de primer orden.
- Cuando n = 1 la ecuación puede resolverse usando Separación de Variables.
Para otros valores de n podemos resolverla sustituyendo u = y1−n y convirtiéndola en una ecuación diferencial lineal (y luego resolverla).
Ecuación de Segundo Orden
Las Ecuaciones de Segundo Orden (homogéneas) son del tipo:
Observa que hay una segunda derivada d2ydx2
La forma general de una ecuación de segundo orden es:
a(x)d2ydx2 + b(x)dydx + c(x)y = Q(x)
Existen muchos casos distintos entre estas ecuaciones.
Se clasifican como homogéneas (Q(x)=0), no homogéneas, autónomas, con coeficientes constantes, coeficientes indeterminados, etc.
Para ecuaciones no homogéneas la solución general es la suma de:
- la solución de la ecuación homogénea correspondiente, y
- la solución particular de la ecuación no homogénea
Coeficientes Indeterminados
El método de Coeficientes Indeterminados funciona para una ecuación no homogénea de la forma:
d2ydx2 + P(x)dydx + Q(x)y = f(x)
donde f(x) es un polinomio, exponencial, seno, coseno o una combinación lineal de estos. (Para una versión más general, ver Variación de Parámetros abajo)
Este método también implica hacer una suposición.Variación de Parámetros
La Variación de Parámetros es un poco más complicada, pero funciona con un rango más amplio de funciones que el método de Coeficientes Indeterminados.
Ecuaciones Exactas y Factores Integrantes
Las Ecuaciones Exactas y Factores Integrantes pueden usarse para una ecuación diferencial de primer orden como esta:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
Debe existir alguna función especial I(x, y) cuyas derivadas parciales puedan reemplazar a M y N así:
∂I∂xdx + ∂I∂ydy = 0
Nuestro trabajo es encontrar esa función mágica I(x, y), si existe.
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) vs Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP)
Todos los métodos hasta ahora sirven para resolver Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).
El término ordinario se usa en contraste con el término parcial para indicar derivadas con respecto a una sola variable independiente.
Se llaman Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP), y lo siento pero aún no tenemos ninguna página sobre este tema.
