Integrales Definidas
¡Puede que quieras leer primero la Introducción a la Integración!
Integración
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La integración se puede utilizar para buscar áreas, volúmenes, puntos centrales y muchas cosas útiles. Pero a menudo se usa para encontrar el área debajo de la gráfica de una función como esta: |
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El área se puede encontrar sumando porciones cuyo ancho se
acerca a cero: |
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Notación
El símbolo de "Integral" es una elegante "S" (para "Suma", por la idea
de sumar porciones):
Después del Símbolo de Integral colocamos la función de la cual queremos
encontrar la integral (llamada Integrando).
Y luego se termina con dx para significar que los cortes van en
la dirección x (y tienen un ancho cercano a cero).
Integral Definida
Una Integral Definida tiene valores inicial y final: en otras
palabras, hay un intervalo [a, b].
a y b (llamados límites, cotas o fronteras) se colocan en la parte
inferior y superior de la "S", así:
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| Integral Definida (de a a b) |
Integral Indefinida (sin valores específicos) |
Encontramos la Definida integral calculando la Integral Indefinida en a, y en b, y luego se hace una resta.
Ejemplo: Hallar la integral
2
∫
1
2x dx
Se nos pide calcular la Integral Definida, de 1 a 2, de 2x dx
Primero necesitamos hallar la Integral Indefinida.
Haciendo uso de las Reglas de Integración encontramos que ∫2x dx = x2 + C
Ahora evaluamos en 1 y 2:
- En x=1: ∫2x dx = 12 + C
- En x=2: ∫2x dx = 22 + C
Resta:
La "C" se cancela ... así que con las Integrales Definidas podemos ignorar C.
Resultado:
Comprobación: con una forma tan simple, intentemos calcular el área también con geometría:
A = 2+42 × 1 = 3
Sí, tiene un área de 3.
(¡Hurra!)
Notación: Podemos mostrar la integral indefinida (sin + C) entre corchetes, con los límites a y b después, así:
Ejemplo (continuación)
Una buena forma de mostrar tu respuesta:
Probemos con otro ejemplo:
Ejemplo:
La Integral Definida, de 0.5 a 1.0, de cos(x) dx:
(Nota: x debe expresarse en radianes)
La Integral Indefinida es: ∫cos(x) dx = sin(x) + C
Podemos ignorar la C para las integrales definidas (como vimos anteriormente) y obtenemos:
Y otro ejemplo para destacar un punto importante:
Ejemplo:
La Integral Definida, de 0 a 1, de sin(x) dx:
La Integral Indefinida es: ∫sin(x) dx = −cos(x) + C
Como vamos desde 0, ¿podemos simplemente calcular la integral en x=1?
−cos(1) = −0.540...
¿Qué? ¿Es negativa? Pero parece positiva en la gráfica.
Bueno ... ¡cometimos un error!
Porque necesitamos restar la integral en x=0. No debemos
asumir que es cero.
Así que hagámoslo correctamente, restando uno del otro:
¡Correcto! ¡Así está mejor!
Pero podemos tener regiones negativas, cuando la curva está debajo del eje:
Ejemplo:
La Integral Definida, de 1 a 3, de cos(x) dx:
Observa que una parte es positiva y otra negativa.
La integral definida calculará el valor neto.
Hagamos las operaciones:
Entonces hay más área negativa que positiva con un resultado neto de −0.700 ....
Intenta integrar cos(x) con diferentes valores iniciales y finales para ver por ti mismo cómo funcionan los positivos y negativos.
Área Positiva
Pero a veces queremos que todas las áreas se traten como positivas
(sin restar la parte debajo del eje).
En ese caso debemos calcular las áreas por separado, como en
este ejemplo:
Ejemplo: ¿Cuál es el área total entre y=cos(x) y el eje x, de x = 1 a x = 3?
Este es como el ejemplo que acabamos de hacer, pero ahora esperamos
que toda la zona sea positiva (imagina que
tuviéramos que pintarla, en ese caso quisiéramos saber cuál es el área
total, independientemente de si está por debajo o por encima de un
eje).
Entonces ahora tenemos que hacer dos integrales por separado:
- Una para el área por encima del eje x
- Una para el área debajo del eje x
La curva cruza el eje x en x = π/2, por
lo que tenemos:
De 1 a π/2:
De π/2 a 3:
Este último salió negativo, pero queremos que sea positivo, entonces:
Área total = 0.159... + 0.859... = 1.018...
Esto es muy diferente de la respuesta del ejemplo anterior.
Continua
Oh, sí, la función que estamos integrando debe ser Continua entre a y b: sin agujeros, saltos o asíntotas verticales (donde la función se dirige hacia arriba/abajo hacia el infinito).
Ejemplo:
Una asíntota vertical entre a y b hace imposible calcular la integral definida en dicho intervalo.
Propiedades
Área arriba − área abajo
La integral suma el área que está encima del eje, pero resta el área de abajo, dando un "valor neto":
Suma de funciones
La integral de f+g es igual a la integral de f más la integral de g:
Invirtiendo el intervalo
Invertir la dirección del intervalo da como resultado el negativo de la dirección original.
Intervalo de longitud cero
Cuando el intervalo comienza y termina en el mismo lugar, el resultado es cero:
Suma de intervalos
También podemos sumar dos intervalos adyacentes juntos:
Resumen
La Integral Definida entre a y b es la Integral Indefinida en b menos la Integral Indefinida en a.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
