Series de Fourier

Las ondas de seno y coseno pueden formar otras funciones.

Aquí dos ondas sinusoidales diferentes se suman para formar una nueva onda:

superposición de onda
Prueba "sin(x)+sin(2x)" en el graficador de funciones.

(También lo puedes escuchar en Sonidos y Ritmos).

Onda cuadrada

¿Podemos usar ondas sinusoidales para hacer una onda cuadrada?

Nuestro objetivo es esta onda cuadrada:

Onda cuadrada -pi a pi

Empieza con sin(x):

sin(x)

Luego sin(3x)/3:

sin(3x)/3

Súmalas para formar sin(x)+sin(3x)/3:

sin(x)+sin(3x)/3

¿Puedes ver cómo comienza a parecerse un poco a una onda cuadrada?

Ahora toma sin(5x)/5:

sin(5x)/5

Suma nuevamente, para tener sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5:

sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5

¡Va mejorando! Sumemos muchas más ondas sinusoidales.

Usando 20 ondas sinusoidales obtenemos sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + ... + sin(39x)/39:

sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + ...+sin(39x)/39

Usando 100 ondas sinusoidales obtenemos sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + ... + sin(199x)/199:

sin(x)+sin(3x)/3+sin(5x)/5 + ... + sin(199x)/199

¡Y si pudiéramos sumar infinitas ondas sinusoidales en ese patrón, tendríamos una onda cuadrada!

Entonces podemos decir que:

una onda cuadrada = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... (infinitamente)

Esa es la idea de una serie de Fourier.

Añadiendo infinitas ondas de seno (y/o coseno) podemos hacer otras funciones, incluso si son un poco raras.

Es posible que desees jugar un poco con el:

Graficador de Series de Fourier

Y también sería divertido que hagas Espirales Artísticas y veas cómo los círculos hacen ondas.

Están diseñados para experimentar con ellos, así que juega y aprende sobre el tema.

Hallar los coeficientes

¿Cómo supe que había que usar sin(3x)/3, sin(5x)/5, etc.?

¡Hay fórmulas!

Primero, anotemos una serie completa de senos y cosenos, con un nombre para todos los coeficientes:

f(x) = a0 +
n=1
an cos(nxπL) +
n=1
bn sin(nxπL)

Donde:


¿Qué significa
n=1
an cos(nxπL) ?

Es una suma representada con Notación Sigma que nos indica que hay que sumar toda una serie de valores iniciando en n=1:

No conocemos (todavía) los valores de a1, a2 etc.

Para hallar los coeficientes a0, an y bn usamos estas fórmulas:

a0 = 12L
L
−L
f(x) dx
an = 1L
L
−L
f(x) cos(nxπL) dx
bn = 1L
L
−L
f(x) sin(nxπL) dx

¿Qué signfica 
L
−L
f(x) sin(nxπL) dx ?

Es una integral, pero en la práctica solo significa encontrar el área neta de

f(x) sin(nxπL)

entre −L y L

A menudo podemos encontrar esa área simplemente dibujando y usando cálculos básicos, pero otras veces es posible que necesitemos usar las Reglas de Integración.

 

Entonces esto es lo que hacemos:

¡Veamos cómo hacer cada paso y luego organicemos el resultado al final!

Ejemplo: esta onda cuadrada:

Onda cuadrada -pi a pi

Ahora hay que calcular a0, an y bn

 

a0 es el área neta entre −L y L, luego dividida por 2L. Básicamente es un promedio de f(x) en ese rango.

Mirando este boceto:

Onda cuadrada -pi a pi
El área neta de la onda cuadrada de −L a L es cero.

Así que tenemos que:

a0 = 0

 

Para a1 sabemos que n=1 y L=π, entonces:

a1 = 1π
π
π
f(x) cos(1xππ) dx

Lo cual se simplifica a:

a1 = 1π
π
π
f(x) cos(x) dx

Ahora, debido a que la onda cuadrada cambia abruptamente en x = 0, necesitamos dividir las operaciones de π a 0 y de 0 a π,

De −π a 0 sabemos que f(x) es simplemente igual a −h:

1π
0
π
−h cos(x) dx

Podemos mover la constante −h afuera de la integral:

−hπ
0
π
cos(x) dx

Dibujemos cos(x):

Onda cuadrada -pi a pi
El área neta de cos(x) de -π a 0 es cero.

Entonces el área neta debe ser 0:

−hπ
0
π
cos(x) dx = 0

 

La misma idea aplica de 0 a π,

Onda cuadrada -pi a pi
El área neta de cos(x) de 0 a π es cero.

y podemos concluir que

a1 = 0

Ahora veamos a2

Y..... ¡ocurre lo mismo!

Onda cuadrada -pi a pi
El área neta de cos(2x) from -π a 0 es cero.

Y:

Onda cuadrada -pi a pi
El área neta de cos(2x) de 0 a π también es cero.

Entonces sabemos que:

a2 = 0

De hecho, podemos extender esta idea a cada valor de a y concluir que:

an= 0

 

¡Hasta ahora no ha habido necesidad de grandes cálculos! Unos bocetos y un poco de reflexión han sido suficientes.

¡Pero ahora vamos con la función seno!

 

Para b1 sabemos que n=1 y L=π, entonces:

b1 = 1π
π
π
sin(1xππ) dx

Lo cual se simplifica a:

b1 = 1π
π
π
sin(x) dx

y como antes, debido al cambio abrupto en x=0, necesitamos dividir el cálculo de π a 0 y de 0 a π,

Entonces, considerando la integral de −π a 0, sabemos que f(x) = −h:

Podemos mover la constante −h afuera de la integral:

−hπ
0
π
sin(x) dx

Y sin(x) se ve así:

sin(x)

¿Cómo sabemos que el área es −2?

Primero usamos las Reglas de Integración para saber que la integral de sin(x) es cos(x):

Luego calculamos la integral definida entre π y 0 al calcular el valor de cos(x) para 0, y para π, y luego restamos:

[−cos(0)] − [−cos(−π)] = −1 − 1 = −2

Entonces, entre π y 0 tenemos

−hπ(−2)

 

Ahora consideremos la integral de 0 a π:

hπ
π
0
sin(x) dx
El valor de la integral es:

[−cos(π)] − [−cos(0)] = 1 − [−1] = 2

sin(x)

Ahora, combinando ambos lados tenemos:

b1 = 1π[ (−h) × (−2) + (h) × (2) ] = 4hπ

 

Para b2 tenemos esta integral:

−hπ
π
π
sin(2x) dx

De −π a 0 se ve así:

Onda cuadrada -pi a pi
El área neta de sin(2x) de π a 0 es cero.

Y hemos visto este tipo de cosas antes, por lo que concluimos que:

b2 = 0

Para b3 tenemos esta integral:

−hπ
π
π
sin(3x) dx

De −π a 0 tenemos esta situación particular:

Onda cuadrada -pi a pi
Dos áreas se cancelan, ¡pero la tercera es importante!

Entonces es como la integral de b1, pero con solo un tercio del área.

Para 0 a π se tiene:

Onda cuadrada -pi a pi
Nuevamente dos áreas se cancelan, pero no la tercera.

Y podemos concluir:

b3 = b13 = 4h3π

El patrón continúa:

Onda cuadrada -pi a pi
Cuando n es par, las áreas se cancelan y dan un resultado de cero.

 

Onda cuadrada -pi a pi
Cuando n es impar, todas las áreas excepto una se cancelan para un resultado de 1/n.

Así que podemos decir:

bn = 4hnπ cuando n es impar, y 0 en los demás casos

 

Y llegamos a nuestro último paso: poner los coeficientes en la fórmula maestra:

f(x) = a0 +
n=1
an cos(nxπL) +
n=1
bn sin(nxπL)

Y sabemos que

Finalmente:

f(x) = 4hπ ( sin(x) + sin(3x)3 + sin(5x)5 + ... ) 

En conclusión:

 

Y cuando hayas terminado, ve al:

Graficador de Series de Fourier

¡y ve si lo hiciste bien!

¿Por qué no lo intentas con "sin((2n-1)*x)/(2n-1)"? Después de todo 2n−1 siempre da valores impares. Verifica si obtienes una onda cuadrada.

Otras funciones

¡Por supuesto que podemos usar esto para muchas otras funciones!

Pero debemos ser capaces de calcular todos los coeficientes, lo que en la práctica significa que calculamos el área de:

Pero como vimos anteriormente, podemos usar trucos como separar la función en pedazos, usar el sentido común, la geometría y el cálculo para ayudarnos.

Estos son algunos de los más conocidos:

Onda Serie Graficador de Series de Fourier
Onda cuadrada sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... sin((2n−1)*x)/(2n−1)
Sierra/Serrucho sin(x) + sin(2x)/2 + sin(3x)/3 + ... sin(n*x)/n
Pulso sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + ... sin(n*x)*0.1
Triángulo sin(x) − sin(3x)/9 + sin(5x)/25 − ... sin((2n−1)*x)*(−1)^n/(2n−1)^2

 

 

Nota: ¡Diferentes versiones de la fórmula!

En esta página usamos la fórmula general:

f(x) = a0 +
n=1
an cos(nxπL) +
n=1
bn sin(nxπL)

Pero cuando la función f(x) tiene un periodo de -π a π podemos usar una versión simplificada

f(x) = a0 +
n=1
an cos(nx) +
n=1
bn sin(nx)

O también está esta, donde a0 se mete en la primera suma (ahora n=0 a ∞):

f(x) =
n=0
an cos(nx) +
n=1
bn sin(nx)

Pero prefiero la que usamos aquí, ya que es más práctica y permite diferentes periodos.