Cómo funciona un quincunce

Un quincunce o "tablero de Galton" (llamado así en honor de Sir Francis Galton) es una distribución triangular de clavos.

Se dejan caer bolas sobre el clavo de arriba y van rebotando hasta abajo, donde caen en pequeños contenedores.

Cada vez que una bola cae sobre un clavo, rebota a la izquierda o a la derecha.

 

Pero esto es lo interesante: si siempre hay la misma probabilidad de ir a derecha o izquierda, las bolas que caen en los contenedores forman la famosa curva "de campana" de la distribución normal.

(Si las probabilidades no son iguales, de todas maneras sale una versión "torcida" de la distribución normal.)

Fórmula

¡Podemos calcular las probabilidades!

Piensa: una bola cae en el contenedor que está a distancia k del borde derecho si ha ido a la izquierda k veces.
 
En este ejemplo la bola ha ido dos veces a la izquierda y todas las demás a la derecha. Acabó a distancia dos del borde derecho.
 
En general, si el quincunce tiene n filas, cada bola puede rebotar k veces a la izquierda y (n-k) veces a la derecha.
 
Y si la probabilidad de rebotar a la izquierda es p entonces la probabilidad de un cierto camino se calcula así:
     
  La bola rebota k veces a la izquierda con probabilidad p: pk
  Y los otros (n-k) rebotes tienen probabilidad: (1-p)(n-k)
  Así que la probabilidad de seguir un camino así es pk(1-p)(n-k)

¡Pero hay muchos caminos así! Por ejemplo ir a la izquierda podría pasar en los dos primeros rebotes, o primero y tercero, o segundo y séptimo, etc.

Podrías hacer una lista y contar (IIDDD.., IDIDD..., IDDDI...), pero hay dos maneras más fáciles.

Cuántos caminos

Puedes leer sobre el triángulo de Pascal. De hecho, el quincunce es como el triángulo de Pascal, con clavos en lugar de números. El número en cada clavo te dice cuántos caminos diferentes llegan a ese clavo. Increíble pero cierto.

O puedes usar esta fórmula para combinaciones:

    Se suele decir "n sobre k" y escribir C(n,k).

Es el cálculo del número de maneras de distribuir k cosas en una sucesión de n.
       
      (El "!" significa "factorial", por ejemplo 4! = 1×2×3×4 = 24)

Si lo juntamos todo, la fórmula que sale es:


(Por cierto, esta es la fórmula de la distribución binomial.)

Ejemplo:

Si hay 10 filas (n=10) y la probabilidad de ir a la izquierda es 0.5 (p=0.5), podemos calcular la probabilidad de caer en el tercer contenedor por la derecha (k=3) así:


también:


(Esto quiere decir que hay 120 caminos diferentes que acaban
con la bola en el tercer contenedor por la derecha.)

Así que tenemos:

De hecho, podemos hacer una tabla completa para filas=10 y probabilidad=0.5 así:

Desde la derecha: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Probabilidad: 0.001 0.010 0.044 0.117 0.205 0.246 0.205 0.117 0.044 0.010 0.001
Ejemplo: 100 bolas 0 1 4 12 21 24 21 12 4 1 0


Claro, este juego tiene azar así que los resultados reales no coinciden con esta situación ideal.

Otro ejemplo:

Si la probabilidad fuera 0.8 la tabla quedaría así:

Desde la derecha 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
Probabilidad 0.107 0.268 0.302 0.201 0.088 0.026 0.006 0.001 0.000 0.000 0.000
Ejemplo: 100 bolas 11 26 30 20 9 3 1 0 0 0 0

Prueba tú mismo

Deja caer 100 (o más) bolas en el quincunce y a ver qué resultados salen. Yo lo he hecho muchas veces mientras escribía los programas. Nunca salió el resultado perfecto, pero siempre salían resultados sorprendentemente cerca. ¡Buena suerte!

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