Perímetro de una elipse

En la página sobre la Elipse hablamos de la definición y algunas propiedades simples de la elipse, pero ahora vamos a ver exactamente cómo se calcula el perímetro.

Perímetro Aunque parezca extraño, ¡el perímetro de una elipse es muy difícil de calcular! Hay muchas fórmulas, aquí tienes algunas interesantes:

Aproximación 1

Esta aproximación está a menos de 5% del valor correcto, siempre que r no sea más de 3 veces s (en otras palabras, si la elipse no está demasiado "aplastada"):

Aproximación 2

El famoso matemático indio Ramanujan descubrió esta aproximación más exacta:

Serie infinita 1

Esta es una fórmula exacta, pero hace falta un "número infinito" de cálculos para el valor exacto, así que en la práctica sólo te da una aproximación.

Primero tienes que calcular "ε" (llamado la "excentricidad"):

Después usa esta fórmula con "suma infinita":

que queda así al desarrollar:

La suma sigue indefinidamente, y desgraciadamente necesitas muchos términos para llegar a una respuesta razonablemente correcta.

Serie infinita 2

Pero mi fórmula exacta favorita (porque da un valor muy cercano al correcto con sólo unos pocos términos) es esta:

Primero calculas "h":

Luego usas esta fórmula con "suma infinita":

(Nota: el es un coeficiente binomial con factorial de semienteros... ¡uau!)

Que no te dé miedo, esto se desarrolla y queda así:

Cuantos más términos calculas, más exacto es el resultado (el siguiente término es h⁴/16384, que es bastante pequeño)

Comparando

Por diversión, he usado las dos aproximaciones y las dos fórmulas exactas (pero sólo sumando cuatro términos, así que también son aproximaciones) para calcular el perímetro con estos valores de r y s:

	r	s	Aprox 1	Aprox 2	ε	Serie 1	h	Serie 2
Circunf.	10	10	62.832	62.832	0	62.832	0	62.832
	10	5	49.673	48.442	0.866	48.876	0.111	48.442
	10	3	46.385	43.857	0.954	45.174	0.29	43.859
	10	1	44.65	40.606	0.995	43.204	0.669	40.623
Líneas	10	0	44.429	39.834	1	42.951	1	39.884

• Cuando s=r, la elipse es una circunferencia, y el perímetro es 2πr (62.832 en nuestro ejemplo).
• Cuando s=0 (en realidad la forma son dos líneas que van y vuelven) el perímetro es 4r (40 en nuestro ejemplo).

Todas las fórmulas calculan correctamente el perímetro de la circunferencia, pero sólo la "Aproximación 2" y la "Serie 2" se acercan al valor 40 para el caso s=0.

A mí me parece que la Serie 2 es la mejor de todas.