Ternas pitagóricas - Avanzado

El teorema de Pitágoras dice que la suma de las áreas de los cuadrados sobre los lados pequeños de un triángulo rectángulo es igual al área del triángulo sobre el lado largo.

Llamemos a, b, y c a los lados de un triángulo rectángulo. (Un triángulo rectángulo es uno que tiene un ángulo de 90 grados.) El lado más largo se llama 'hipotenusa' y los otros se llaman 'catetos'.

El teorema de Pitágoras se escribe en forma de ecuación:

a2 + b2 = c2

donde c es la hipotenusa y a, b son los catetos.

Si a, b y c son enteros positivos, juntos se les llama una terna pitagórica.

La terna pitagórica más pequeña es 3, 4 y 5. Es fácil ver que 32 + 42 = 52 (9+16=25).

Aquí tienes más ejemplos:

Terna pitagórica Terna pitagórica Terna pitagórica
Triángulo 3,4,5 Triángulo 5,12,13 Triángulo 9,40,41
32 + 42 = 52 52 + 122 = 132 92 + 402 = 412

 

Sin fin

El conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.

Es fácil demostrarlo usando la primera terna pitagórica (3, 4 y 5):

Sea n un entero mayor que 1: 3n, 4n y 5n también son una terna pitagórica. Esto es verdad porque:

(3n)2 + (4n)2 = (5n)2

n (3n, 4n, 5n)
2 (6,8,10)
3 (9,12,15)
... ... etc ...

Así que puedes crear infinitas ternas pitagóricas a partir de la terna (3,4,5).

Demostración de Euclides de que hay infinitas ternas pitagóricas

De todas maneras, Euclides usó un razonamiento diferente para demostrar que el conjunto de ternas pitagóricas no tiene fin.

La prueba se basa en que la diferencia de dos cuadrados de números consecutivos es siempre un número impar.

Por ejemplo, 22 - 12 = 4-1 = 3, 152 - 142 = 225-196 = 29.

Y además todos los números impares se pueden escribir como una diferencia de dos cuadrados de números consecutivos. En esta tabla se ve:

n n2 Diferencia
1 1  
2 4 4-1 = 3
3 9 9-4 = 5
4 16 16-9 = 7
5 25 25-16 = 9
... ... ...

Y hay infinitos números impares.

Como hay infinitos números impares, y algunos de ellos son cuadrados perfectos, hay un número infinito de cuadrados impares. Por tanto, hay infinitas ternas pitagóricas.

Propiedades

Se puede ver que una terna pitagórica tiene:

  • tres números pares, o
  • dos impares y uno par.

Una terna pitagórica no puede tener todo números impares ni dos pares y uno impar. Esto es porque:

  • (i) El cuadrado de un impar es impar y el cuadrado de un par es par.
  • (ii) La suma de dos pares es par y la suma de impar y par es impar.

Por tanto, si uno de entre a y b es impar y el otro par, c tiene que ser impar. Y si a, b son impares, ¡c es par!

Construir ternas pitagóricas

Es fácil construir ternas pitagóricas. Si m y n son números naturales,
Sean a = n2 - m2, b = 2nm, c = n2 + m2. Entonces, a, b y c son una terna pitagórica.

Por ejemplo, sean m=1 y n=2.
a = 22-12 = 4-1 = 3
b = 2 × 2 × 1 = 4
c = 22+12 = 5
Y así obtenemos la primera terna pitagórica (3,4,5).

De la misma manera, si m=2 y n=3 obtenemos la siguiente terna (5,12,13).

Lista de las primeras ternas pitagóricas

Aquí tienes una lista de todas las ternas pitagóricas donde a, b y c son menores que 1,000.

La lista sólo contiene ternas (a,b,c) que no son múltiplos de otras ternas (ternas pitagóricas primitivas). Los múltiplos de (a,b,c) (que son (na,nb,nc)) no aparecen en la lista. Por ejemplo, ya sabemos que (3,4,5) es una terna pitagórica y (6,8,10) también. Pero (6,8,10) se obtiene como (3,4,5) por 2. Así que sólo ponemos (3,4,5).

(3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17) (9,40,41)
(11,60,61) (12,35,37) (13,84,85) (15,112,113) (16,63,65)
(17,144,145) (19,180,181) (20,21,29) (20,99,101) (21,220,221)
(23,264,265) (24,143,145) (25,312,313) (27,364,365) (28,45,53)
(28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257) (33,56,65)
(33,544,545) (35,612,613) (36,77,85) (36,323,325) (37,684,685)
(39,80,89) (39,760,761) (40,399,401) (41,840,841) (43,924,925)
(44,117,125) (44,483,485) (48,55,73) (48,575,577) (51,140,149)
(52,165,173) (52,675,677) (56,783,785) (57,176,185) (60,91,109)
(60,221,229) (60,899,901) (65,72,97) (68,285,293) (69,260,269)
(75,308,317) (76,357,365) (84,187,205) (84,437,445) (85,132,157)
(87,416,425) (88,105,137) (92,525,533) (93,476,485) (95,168,193)
(96,247,265) (100,621,629) (104,153,185) (105,208,233) (105,608,617)
(108,725,733) (111,680,689) (115,252,277) (116,837,845) (119,120,169)
(120,209,241) (120,391,409) (123,836,845) (124,957,965) (129,920,929)
(132,475,493) (133,156,205) (135,352,377) (136,273,305) (140,171,221)
(145,408,433) (152,345,377) (155,468,493) (156,667,685) (160,231,281)
(161,240,289) (165,532,557) (168,425,457) (168,775,793) (175,288,337)
(180,299,349) (184,513,545) (185,672,697) (189,340,389) (195,748,773)
(200,609,641) (203,396,445) (204,253,325) (205,828,853) (207,224,305)
(215,912,937) (216,713,745) (217,456,505) (220,459,509) (225,272,353)
(228,325,397) (231,520,569) (232,825,857) (240,551,601) (248,945,977)
(252,275,373) (259,660,709) (260,651,701) (261,380,461) (273,736,785)
(276,493,565) (279,440,521) (280,351,449) (280,759,809) (287,816,865)
(297,304,425) (300,589,661) (301,900,949) (308,435,533) (315,572,653)
(319,360,481) (333,644,725) (336,377,505) (336,527,625) (341,420,541)
(348,805,877) (364,627,725) (368,465,593) (369,800,881) (372,925,997)
(385,552,673) (387,884,965) (396,403,565) (400,561,689) (407,624,745)
(420,851,949) (429,460,629) (429,700,821) (432,665,793) (451,780,901)
(455,528,697) (464,777,905) (468,595,757) (473,864,985) (481,600,769)
(504,703,865) (533,756,925) (540,629,829) (555,572,797) (580,741,941)
(615,728,953) (616,663,905) (696,697,985)

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