Números primos - Conceptos avanzados

Números primos

Un número primo es un entero positivo divisible solamente por 1 y él mismo.

Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, etc.

Primos gemelos

Un par de números primos que se diferencian en 2 (dos números impares consecutivos que son primos).

Ejemplos: (3,5), (5,7), (11,13), ...

No se sabe si el conjunto de primos gemelos termina o no.

Números coprimos o primos entre sí

Dos números que no tienen ningún factor en común aparte de 1 o -1. (O bien, su máximo factor común es 1 o -1)

Ejemplo: 15 y 28 son coprimos, porque los factores de 15 (1,3,5,15), y los de 28 (1,2,4,7,14,28) no tienen nada en común (excepto el 1).

Primos de Mersenne

Los números primos de la forma 2n-1 donde n es también primo.

3, 7, 31, 127 etc. son primos de Mersenne.

No todos los números de esa forma son primos. Por ejemplo, 2047 (i.e. 211-1) no es un número primo. Es divisible por 23 y 89.

Los primos de Mersenne se llaman así por el monje, teólogo, filósofo y numerista francés Marin Mersenne (1588-1648 AD).

Números perfectos

Cualquier entero positivo que es igual a la suma de sus factores propios (los factores que no son iguales al número).

Ejemplo: 6 (factores propios: 1,2,3) es un número perfecto porque 1+2+3=6.

Ejemplo: 28 (factores propios: 1,2,4,7,14) también es perfecto, porque 1+2+4+7+14=28.

Euclides demostró que 2n-1(2n-1) es un número perfecto par cuando 2n-1 es un primo de Mersenne. Esos números se llaman números de Euclides y Euler demostró que todos los números perfectos pares son de esa forma para algún valor primo n. Por ejemplo, 6, 28, 496 son perfectos y corresponden a valores 3, 7, y 31 para el 2n-1 de la fórmula.

Esta tabla te muestra los resultados para n=1 a 13 que incluyen los primeros cinco números perfectos:

n 2n-1 2n-1(2n-1) ¿Perfecto? Nota
1 1 1 No n no es primo
2 3 6 n es primo, 2n-1 es primo
3 7 28 n es primo, 2n-1 es primo
4 15 120 No n no es primo
5 31 496 n es primo, 2n-1 es primo
6 63 2016 No n no es primo
7 127 8128 n es primo, 2n-1 es primo
8 to 10 ... ... No no primos
11 2047 2096128 No n es primo, pero 2n-1 no es primo
12 4095 8386560 No n no es primo
13 8191 33550336 n es primo, 2n-1 es primo

No se han resuelto todavía los problemas de si hay infinitos números perfectos pares o si hay algún número perfecto impar.

Números abundantes

Un entero positivo que es menor que la suma de sus factores propios (los factores que no son iguales al número).

Ejemplo: 12 es abundante porque sus factores propios son 1, 2, 3, 4, y 6 cuya suma es 16.

Números deficientes

Un entero positivo que es mayor que la suma de sus factores propios (los factores que no son iguales al número).

Todos los números primos son deficientes, porque sólo tienen un factor propio: 1.

Todos los números de la forma 2n también son deficientes.

Ejemplo: 32 (=25) es deficiente porque la suma de sus factores propios es 31 (1+2+4+8+16).

Además, los números de la forma pn son siempre deficientes cuando p es un número primo y n es un entero positivo.

Ejemplo: 35=243. Los factores 243 que no son él mismo son 81, 27, 3 y 1.
La suma de esos factores es 112, que es menos que 243.
También, 56=15625, sus factores propios son 1,5,25,125,625, y 3125. La suma de estos es 3906 que es menor que 15625.

Números amigos

Un par de enteros, que son la suma de los factores propios del otro número.

Ejemplo: 220 y 284 son números amigos porque:
  • Los factores de 220 (que no son él mismo) son 1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110.
    Suma de esos factores = 284
  • Los factores de 284 (que no son él mismo) son 1,2,4,71,142.
    Suma de esos factores = 220.

La prueba de Euclides de que hay infinitos números primos

La prueba consiste en mostrar que si suponemos que hay un número primo máximo, llegamos a una contradicción.

Podemos poner los primos en orden ascendente, de manera que P1 = 2, P2 = 3, P3 = 5 y así sucesivamente. Si suponemos que hay sólo n primos, el mayor primo se llamará Pn. Ahora formamos un número Q multiplicando juntos todos esos primos y sumando 1, así

Q = (P1 × P2 × P3 × P4... × Pn) + 1

Ahora vemos que si dividimos Q entre cualquiera de nuestros n primos siempre hay un resto de 1, así que Q no es divisible por ningún primo.

Pero sabemos que todos los enteros positivos son primos o se pueden descomponer como producto de primos. Esto quiere decir que Q es primo o Q es divisible por primos mayores que Pn.

Nuestra suposición de que Pn es el mayor primo nos ha llevado a una contradicción, esto quiere decir que la suposición es falsa, así que no hay un primo máximo.

La conjetura de Goldbach

La conjetura de que todos los números pares se pueden escribir como suma de dos primos impares.

La conjetura de Goldbach se llama así por el analista y numerista prusiano Christian Goldbach (1690-1764 AD), quien fue profesor de matemáticas e historiador de la Academia Imperial rusa. También fue el tutor de Pedro el Grande, y miembro del ministerio de exteriores del Zar.

Goldbach también conjeturó que todos los números impares son suma de tres primos: el teorema de Vinogradov muestra que esto es verdad excepto quizás para un número finito de números impares.


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