Números primos y compuestos

Un número primo es:

Un número entero que no se puede formar multiplicando otros números enteros.

Ejemplo: 5 es un número primo.

No podemos multiplicar otros números enteros como 2, 3 o 4 juntos para obtener 5

Ejemplo: 6 se puede obtener como 2×3, así que no es un número primo, es un número compuesto

El 1 no es primo

Hace años, se incluía al número 1 como primo, pero se ha decidido que no lo es:

El número 1 no es primo ni compuesto.

Dividir en grupos iguales

Se trata de intentar dividir el número en grupos iguales.

Algunos números naturales se puede dividir exactamente, ¡y algunos no se pueden!

Ejemplo: 6

El 6 se puede dividir exactamente por 2, o por 3:

6 = 2 × 3

Así:

6 dividido entre 2 o 6 dividido entre 3

dividido en 2 grupos

 

dividido en 3 grupos

 

Ejemplo: 7

Pero el 7 no se puede dividir exactamente:

7 es primo

Y les damos nombres:

Por lo que el 6 es compuesto, pero 7 es primo.

Así:

números primos vs números compuestos

 

Y eso lo explica ... Pero hay algunos detalles más ...

 

No valen las fracciones

¡Solo estamos tratando con números enteros aquí! No vamos a cortar las cosas en mitades o cuartos.

No valen los grupos de 1

OK, podríamos haber dividido 7 en siete 1s (o un 7) Asi:

primo 1x7
7 = 1 x 7

¡Pero podríamos hacer eso por cualquier número entero!

Así que solo estamos interesados en dividir por números enteros que no sean el mismo número en sí.

Ejemplo: ¿es el 7 un número primo o un número compuesto?

7 es primo

Solo podemos dividir 7 en un grupo de 7 (o siete grupos de 1):

primo 1x7
7 = 1 x 7

De modo que el 7 es un número primo

Y también:

Es un número compuesto cuando puede ser dividido exactamente
por un número entero distinto de si mismo.

Así:

Ejemplo: ¿es el 6 un número primo o un número compuesto?

El 6 se puede dividir exactamente por 2, o por 3, así como por 1 o 6:

6 = 1 × 6
6 = 2 × 3

Por lo que 6 es un número compuesto

A veces, un número se puede dividir exactamente de muchas maneras:

Ejemplo: 12 se puede dividir exactamente por 1, 2, 3, 4, 6 y 12:

1 × 12 = 12
2 × 6 = 12
3 × 4 = 12

Por lo que 12 es un número compuesto

Y observa esto:

Cualquier número entero mayor que 1 es primo o compuesto.

Actividad

Realiza esta Actividad sobre números primos.

Factores

También podemos definir un número primo con factores.

factores 2x3=6
"Factores" son números que multiplicamos
entre sí para obtener otro número.

Y tenemos:

Cuando los dos únicos factores de un número son 1 y el mismo número, entonces eso es un número primo

Significa lo mismo que nuestra definición anterior, simplemente se indica utilizando factores.

Y recuerda esto solo vale con números naturales (1, 2, 3, ... etc), no fracciones ni números negativos. Así que no digas "podría multiplicar ½ por 6 para obtener 3" ¿OK?

Ejemplos:

3 = 1 × 3
(Los únicos factores son 1 y 3)
Primo
   
6 = 1 × 6   o   6 = 2 × 3
(Los factores son 1,2,3 y 6)
Compuesto

Ejemplos del 1 al 14

Factores distintos de 1 o el número en sí están resaltados:

Número
Se puede dividir
exactamente entre:
¿Primo o
Compuesto?
1
(1 no es primo ni compuesto)
2
1, 2
Primo
3
1, 3
Primo
4
1, 2, 4
Compuesto
5
1, 5
Primo
6
1, 2, 3, 6
Compuesto
7
1, 7
Primo
8
1, 2, 4, 8
Compuesto
9
1, 3, 9
Compuesto
10
1, 2, 5, 10
Compuesto
11
1, 11
Primo
12
1, 2, 3, 4, 6, 12
Compuesto
13
1, 13
Primo
14
1, 2, 7, 14
Compuesto
...
...
...

Entonces, cuando hay más factores que 1 o el número en sí, el número es Compuesto.

Una pregunta para ti: ¿El 15 es primo o compuesto?

¿Por qué todo el alboroto de los primos y compuestos?

Debido a que podemos "separar" número compuestos en factores que son números primos.

Bloques apilados etiquetados 2, 2, y 3

Es como si los números primos fueran los bloques básicos de construcción de todos los números.

Y los números compuestos están formados por números primos multiplicados entre sí.

Aquí lo vemos en acción:

primos y compuestos

2 es primo, 3 es primo, 4 es compuesto (=2×2), 5 es primo, y así sucesivamente ...

Ejemplo: 12 se hace multiplicando los primos números 2, 2 y 3 juntos.

12 = 2 × 2 × 3

El número 2 se repitió, y eso está bien.

De hecho, podemos escribirlo usando el exponente de 2:

12 = 22 × 3

 

Y es por eso que se llaman números "compuestos", porque los compuestos significan "algo hecho por la combinación de cosas"

Esta idea es tan importante que se llama El teorema fundamental de la aritmética.

 

Hay muchos puzzles en matemáticas que pueden resolverse más fácilmente cuando "separamos" a los números compuestos en sus factores primos.

Y otra cosa: mucha de la seguridad en Internet se basa en matemáticas utilizando números primos mediante criptografía.

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).