Actividad: Caminata en el desierto 2
Cómo saber en qué dirección viajar
¡Crash!
Si aún no conoces a
Karina, primero debes hacer la actividad Una
caminata en el desierto.
Karina se estrelló en el desierto, pero ideó un ingenioso plan para encontrar el pueblo más cercano:
- Llenar
una botella de agua del avión y tomar una brújula,
- Luego caminar 1 km al norte, cambiar de dirección y caminar 2 km al este, luego 3 km al sur, 4 km al oeste, 5 km al norte, 6 km al este, y así sucesivamente, de esta manera:
De esta manera, encontrará el pueblo sin importar en qué dirección se encuentre, y puede (con suerte) encontrar el camino de regreso al plano para obtener agua fresca y sombra cuando lo necesite.
- Comenzar a medir desde la dirección Norte
- Medir en el sentido de las agujas del reloj
- Dar el rumbo usando tres cifras (o más de tres si hay un decimal)
Pero si no puede encontrar el pueblo, deberá regresar a su avión cada pocas horas para descansar y rellenar su botella de agua.
Las distancias se calcularon en Una caminata en el desierto
Ahora tenemos que encontrar las direcciones.
Para volver al avión desde el punto A todo lo que tiene que hacer es volver sobre sus pasos, por lo que se dirige al sur.
Pero ¿qué pasa con el punto B? ¿En qué dirección debe caminar Karina desde B para volver al avión?
Vimos este triángulo antes:
y calculamos la distancia OB = √5 km
Para encontrar la dirección necesitamos calcular un ángulo, como el ángulo ABO, que está marcado como θ en el siguiente diagrama:
Para encontrar el tamaño del ángulo θ necesitamos usar Trigonometría
Conocemos los tres lados, pero es más fácil usar los números enteros, así que usaremos el Opuesto AO = 1 y el Adyacente AB = 2. SOHCAHTOA nos dice que debemos usar la Tangente:
Ahora use el botón tan-1 o el botón arctan en tu calculadora:
Entonces, el ángulo es de 26.6°.
¿Pero qué dirección es esa?
Bueno, está en algún lugar entre el sur y el oeste, pero más cerca del oeste que del sur. Así que tal vez podríamos decir oeste suroeste.
Pero eso no es muy exacto. ¡Karina podría perder el avión! Tal vez no importe demasiado en este caso ya que B no está muy lejos del avión y podría ver el avión.
Pero necesitamos ser más precisos para los otros puntos.
Así que usemos rodamientos de tres cifras.
¿Qué son los rodamientos de tres cifras?
Los rodamientos o rumbos de tres cifras son una alternativa a los rumbos de la brújula que son mucho más precisos. Se miden de una manera especial:
- Comienzan a medir desde la dirección Norte
- Miden en el sentido de las agujas del reloj
- Dan el rumbo usando tres cifras (o más de tres si hay un decimal)
Los pilotos de líneas aéreas y los timoneles de los barcos utilizan rodamientos de tres cifras.
Ejemplos
Los cuatro rumbos principales de la brújula (Norte, Este, Sur y Oeste) son múltiplos de 90°:
Ten en cuenta que el este, por ejemplo, es 090° en lugar de 90° porque se da con tres cifras.
La ventaja de los rodamientos de tres cifras es que describen cualquier dirección de manera única:
Ten en cuenta que el último tiene cuatro cifras (tres delante del punto decimal y uno después) pero sigue siendo un "rodamiento de tres cifras", el .4 solo da más precisión.
Ahora compara este último ejemplo con la dirección en la que Karina debe dirigirse para volver al avión en O:
Muestran la misma dirección. Entonces, ¿cómo se relaciona 243.4° con el ángulo de 26.6° que obtuvimos antes?
La respuesta es fácil: 270° - 26.6° = 243.4°
Tu turno
Ahora puedes comenzar a completar la tabla a continuación, hasta el punto E (usaremos otro método para los puntos F a J).
(Nota: las distancias están calculadas en Una caminata en el desierto).
Usa un triángulo rectángulo para ayudarte a calcular el rumbo de tres cifras que Karina necesita para caminar si quiere regresar al avión en O:
| Punto | Distancia recorrida en total |
Distancia
(en línea recta) desde O |
Rodamiento
de tres cifras para regresar a O |
| O | 0 | 0 | No aplica |
| A | 1 | 1 | 180° |
| B | 3 | √5 | 243.4° |
| C | 6 | ||
| D | |||
| E |
Uso de coordenadas polares
En Una caminata en el desierto, las coordenadas cartesianas se utilizan para calcular la distancia (en línea recta) desde O:
Con las coordenadas cartesianas, marca un punto según la distancia y la altura:
Pero hay otro tipo de coordenadas que puedes usar, llamadas Coordenadas Polares.
Con las coordenadas polares, marca un punto según la distancia y el ángulo:
Entonces el punto (12, 5) en coordenadas cartesianas es el mismo que el punto (13, 22.6°) en coordenadas polares.
¡Eso es lo que queremos! Una distancia y dirección para que Karina camine.
Para convertir de coordenadas cartesianas (x,y) a coordenadas polares (r,θ):
r = √( x2 + y2 )
θ = tan-1 ( y / x )
Hagamos los cálculos nuevamente para el punto B. x = 2 e y = 1, entonces:
r = √( x2 + y2 )= √( 22 + 12 )= √( 4 + 1 )= √5
θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 1/2 ) = 26.6°
Entonces las coordenadas polares del punto B son (√5, 26.6°)
Pero, ¿qué es el rodamiento de tres cifras?
Bueno, hay una regla simple basada en el cuadrante en el que se encuentra el punto:
- Para puntos en los Cuadrantes I, II y III (puntos B, F, J, E, I, D y H), resta el ángulo de 270°
- Para puntos en el Cuadrante IV (puntos C y G), resta el ángulo de 630° (sí, eso es 630°, no 360°)
Entonces, para B (en el Cuadrante I), θ = 26.6° y el rumbo de tres cifras es 270° - 26.6° = 243.4°
Probemos con otro punto:Para el punto I, x= -4 y y = 5, entonces:
r = √( x2 + y2 )= √( (-4)2 + 52 )= √( 16 + 25 )= √41
θ = tan-1 ( y / x ) = tan-1 ( 5/-4 ) = tan-1 (-1.25) = 128.7°
El punto I está en el Cuadrante II, por lo que el rumbo de tres cifras es 270° - 128.7° = 141.3°
Ahora debería poder completar la siguiente tabla:
| Punto | Valor de r | Valor de θ | Coordenada polar | Rodamiento
de tres cifras para regresar a O |
| O | 0 | 0° | (0, 0°) | No aplica |
| A | 1 | 90° | (1, 90°) | 180° |
| B | √5 | 26.6° | (√5, 26.6°) | 243.4° |
| C | ||||
| D | ||||
| E | ||||
| F | ||||
| G | ||||
| H | ||||
| I | √41 | 128.7° | (√41, 128.7°) | 141.3° |
| J |
