Introducción a la Trigonometría
Trigonometría: del griego trigonon "triángulo" + metron "medida"
¿Quieres aprender Trigonometría? Aquí tienes un
resumen rápido.
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de Trigonometría
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La Trigonometría... trata sobre triángulos. |
La trigonometría nos ayuda a encontrar ángulos y distancias, ¡y se usa muchísimo en ciencia, ingeniería, videojuegos y más!
Triángulo rectángulo
El triángulo que más nos interesa es el triángulo rectángulo. El ángulo recto se muestra con el pequeño cuadradito en la esquina:
A menudo, otro de los ángulos se etiqueta como θ, y los tres lados se llaman:
- Adyacente: el que está junto al ángulo θ
- Opuesto: el que está enfrente del ángulo θ
- Y el lado más largo es la Hipotenusa
¿Por qué un triángulo rectángulo?
¿Por qué es tan importante este triángulo?
Imagina que podemos medir "a lo largo" y "hacia arriba", pero queremos saber la distancia directa y el ángulo:
La trigonometría puede encontrar ese ángulo y esa distancia que faltan.
O tal vez tenemos una distancia y un ángulo y necesitamos "ubicar el punto" a lo largo y hacia arriba:
Preguntas como estas son comunes en ingeniería, animación por computadora y más.
¡Y la trigonometría nos da las respuestas!
Seno, Coseno y Tangente
Las funciones principales en trigonometría son Seno, Coseno y Tangente
Son simplemente un lado de un triángulo rectángulo dividido por otro.
Para cualquier ángulo "θ":
(Seno, Coseno y Tangente suelen abreviarse como sin, cos y tan.)
Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?
Usando este triángulo (las longitudes solo tienen un decimal):
sin(35°) = OpuestoHipotenusa = 2.84.9 = 0.57...
El triángulo podría ser más grande, más pequeño o estar girado, pero ese ángulo siempre tendrá esa misma razón.
Las calculadoras tienen botones de sin, cos y tan para ayudarnos; veamos cómo usarlas:
Ejemplo: ¿Qué altura tiene el árbol?
No podemos llegar a la copa del árbol, así que nos alejamos y medimos un ángulo (usando un transportador) y una distancia (usando un láser):
- Sabemos la Hipotenusa
- Y queremos saber el Opuesto (la altura)
El Seno es la razón entre Opuesto / Hipotenusa:
sin(45°) = Opuesto Hipotenuse
Toma una calculadora, escribe "45" y luego pulsa la tecla "sin":
sin(45°) = 0.7071...
¿Qué significa 0.7071...? Es la razón entre las longitudes de los lados, por lo que el Opuesto es aproximadamente 0.7071 veces tan largo como la Hipotenusa.
Ahora podemos poner 0.7071... en lugar de sin(45°):
0.7071... = Opuesto Hipotenusa
Y también sabemos que la hipotenusa es 20:
0.7071... = Opuesto 20
Para resolverlo, primero multiplicamos ambos lados por 20:
20 × 0.7071... = Opuesto
Finalmente:
Opuesto = 14.14m (con 2 decimales)
Ejemplo: ¿Qué altura tiene el árbol?
(con 2 decimales)
El árbol mide 14.14m de altura
Prueba el Sin, Cos y Tan
Juega con esto un rato (mueve el ratón) y familiarízate con los valores de seno, coseno y tangente para diferentes ángulos, como 0°, 30°, 45°, 60° y 90°.
Prueba también con 120°, 135°, 180°, 240°, 270°, etc., y observa que las posiciones pueden ser positivas o negativas según las reglas de las Coordenadas Cartesianas, entonces el seno, el coseno y la tangente cambian entre positivo y negativo también.
¡Entonces la trigonometría también se trata de círculos!
Círculo Unitario
Con lo que acabas de jugar es el Círculo Unitario.
Es un círculo con un radio de 1 y su centro en el punto 0.
Como el radio es 1, podemos medir directamente el seno, el coseno y la tangente.
Aquí vemos cómo se crea la función seno a partir del círculo unitario:
Nota: puedes ver las bonitas gráficas que forman el seno, el coseno y la tangente.
Grados y Radianes
Los ángulos pueden medirse en Grados o Radianes. Aquí tienes algunos ejemplos:
| Ángulo | Grados | Radianes |
|---|---|---|
Ángulo Recto  |
90° | π/2 |
| Ángulo Llano __ | 180° | π |
Rotación Completa  |
360° | 2π |
Patrón repetitivo
Debido a que el ángulo está girando una y otra vez alrededor del círculo, las funciones Seno, Coseno y Tangente se repiten cada vez que se completa una vuelta (ver Amplitud, Periodo, Desfase y Frecuencia).
Cuando queremos calcular la función de un ángulo mayor que una vuelta completa de 360° (2π radianes), restamos tantas vueltas completas como sea necesario para que el valor sea menor de 360°:
Ejemplo: ¿cuál es el coseno de 370°?
370° es mayor que 360°, así que restamos 360°:
370° − 360° = 10°
cos(370°) = cos(10°) = 0.985 (con 3 decimales)
Y cuando el ángulo es menor que cero, simplemente suma vueltas completas.
Ejemplo: ¿cuál es el seno de −3 radianes?
−3 es menor que 0, así que sumamos 2π radianes:
−3 + 2π = −3 + 6.283... = 3.283... radianes
sin(−3) = sin(3.283...) = −0.141 (con 3 decimales)
Resolución de triángulos
La trigonometría también es útil para triángulos en general, no solo para los rectángulos.
Nos ayuda a Resolviendo Triángulos. "Resolver" significa encontrar los lados y ángulos que faltan.
Ejemplo: Encuentra el ángulo "C" que falta
El ángulo C se puede encontrar sabiendo que la suma de los ángulos de un triángulo es 180°:
Así que C = 180° − 76° − 34° = 70°
También podemos encontrar las longitudes de los lados que faltan. La regla general es:
Cuando conocemos 3 de los lados o ángulos, podemos
encontrar los otros 3
(excepto en el caso de conocer solo los tres ángulos)
Mira Resolución de Triángulos para más detalles.
Otras funciones (Cotangente, Secante, Cosecante)
Al igual que el Seno, el Coseno y la Tangente, existen otras tres funciones trigonométricas que se obtienen dividiendo un lado por otro:
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Función Cosecante:
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csc(θ) = Hipotenusa / Opuesto |
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Función Secante:
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sec(θ) = Hipotenusa / Adyacente |
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Función Cotangente:
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cot(θ) = Adyacente / Opuesto |
Identidades Trigonométricas y de Triángulos
Y a medida que mejores en trigonometría, podrás aprender estas:
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Las Identidades Trigonométricas son ecuaciones que son válidas para todos los triángulos rectángulos. |
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Las Identidades de Triángulos son ecuaciones que son válidas para todos los triángulos (no tienen por qué tener un ángulo recto). |
¡Disfruta convirtiéndote en un experto en triángulos
(y círculos)!
