Identidades Trigonométricas
¡Tal vez quieras leer sobre Trigonometría primero!
Triángulo rectángulo
Las Identidades Trigonométricas son ecuaciones que son verdaderas para Triángulos Rectángulos.
(Si no se trata de triángulos rectángulos, revisa la página de Identidades de Triángulos).
Cada lado de un triángulo rectángulo tiene un
nombre:
Adyacente es el que está al lado del ángulo
Y Opuesto es el opuesto al ángulo
Pronto vamos a jugar con todo tipo de funciones, pero recuerda que todo siempre regresa a ese simple triángulo con:
- Ángulo θ
- Hipotenusa
- Adyacente
- Opuesto
Seno, coseno y tangente
Las funciones principales en trigonometría son Seno, Coseno y Tangente
Estas funciones son simplemente un lado de un triángulo rectángulo dividido por otro.
Para un triángulo rectángulo con un ángulo "θ":
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Función Seno:
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sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa |
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Función Coseno:
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cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa |
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Función Tangente:
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tan(θ) = Opuesto / Adyacente |
Para un ángulo dado θ cada
relación permanece igual
no importa cuán grande o pequeño sea el triángulo
Nota: recuerda que Seno tiene dos abreviaciones en español: sen y sin.
Más sobre la Tangente
Cuando dividimos el Seno entre el Coseno obtenemos:
sen(θ)cos(θ) = Opuesto/HipotenusaAdyacente/Hipotenusa = OpuestoAdyacente = tan(θ)
Así que podemos decir:
tan(θ) = sen(θ)cos(θ)
Esa es nuestra primera Identidad Trigonométrica.
Cosecante, Secante y Cotangente
También podemos dividir "al revés" (como Adyacente/Opuesto en lugar de Opuesto/Adyacente) para obtener:
Ejemplo: cuando Opuesto = 2 e Hipotenusa = 4 entonces
sen(θ) = 2/4, y csc(θ) = 4/2
Debido a todo esto, podemos decir:
sen(θ) = 1/csc(θ)
cos(θ) = 1/sec(θ)
tan(θ) = 1/cot(θ)
Y al revés:
csc(θ) = 1/sen(θ)
sec(θ) = 1/cos(θ)
cot(θ) = 1/tan(θ)
Y también tenemos:
cot(θ) = cos(θ)/sen(θ)
¡Aquí tienes más identidades trigonométricas!
Teorema de Pitágoras
Para las siguientes identidades trigonométricas, empezamos con el Teorema de Pitágoras:
El Teorema de Pitágoras dice que, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de a más el cuadrado de b es igual al cuadrado de c:
a2 + b2 = c2
Dividiendo todo por c2 obtenemos:
a2c2 + b2c2 = c2c2
Esto se puede simplificar a:
(ac)2 + (bc)2 = 1
- a/c es Opuesto / Hipotenusa, que es sen(θ)
- b/c es Adyacente / Hipotenusa, que es cos(θ)
Así que (a/c)2 + (b/c)2 = 1 también se puede escribir:
sen2 θ + cos2 θ = 1
- sen2 θ significa hallar el seno de θ, luego elevar el resultado al cuadrado; lo mismo que (sen θ)2.
- Pero sen θ2 significa elevar θ al cuadrado, luego aplicar la función seno.
Ejemplo: 32°
Usando solo 4 decimales:
- sen(32°) = 0.5299...
- cos(32°) = 0.8480...
Ahora calculemos sen2 θ + cos2 θ:
0.52992 + 0.84802
= 0.2808... + 0.7191...
= 0.9999...
Obtenemos un valor muy cercano a 1 usando solo 4 decimales. ¡Inténtalo en tu calculadora, podrías obtener mejores resultados!
Las identidades relacionadas incluyen:
sen2 θ = 1 − cos2 θ
cos2 θ = 1 − sen2 θ
tan2 θ + 1 = sec2 θ
tan2 θ = sec2 θ − 1
cot2 θ + 1 = csc2 θ
cot2 θ = csc2 θ − 1
¿Cómo recordarlas?Las identidades mencionadas hasta ahora pueden recordarse |
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Pero espera... ¡hay más!
Existen muchas más identidades... aquí tienes algunas de las más útiles:
Identidades de ángulos opuestos
sen(−θ) = −sen(θ)
cos(−θ) = cos(θ)
tan(−θ) = −tan(θ)
Identidades de ángulo doble
Identidades de ángulo mitad
Ten en cuenta que "±" significa que puede ser cualquiera de los dos, dependiendo del valor de θ/2
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Identidades de suma y diferencia de ángulos
Ten en cuenta que ± significa que puedes usar más o menos, y el ∓ significa usar el signo opuesto.
sen(A ± B) = sen(A)cos(B) ± cos(A)sen(B)
cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sen(A)sen(B)
tan(A ± B) = tan(A) ± tan(B)1 ∓ tan(A)tan(B)
cot(A ± B) = cot(A)cot(B) ∓ 1cot(B) ± cot(A)
Identidades de triángulos
También existen las Identidades de Triángulos que se aplican a todos los triángulos (no solo a los rectángulos).
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
