Seno, Coseno y Tangente en los 4 Cuadrantes
Seno, Coseno y Tangente
Las tres funciones principales en trigonometría son Seno, Coseno y Tangente.
Son fáciles de calcular:
Divide la longitud de un lado de un
triángulo rectángulo entre otro lado
... ¡Pero debemos saber de qué lados!
Para un ángulo θ, las funciones se calculan de esta manera:
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Función Seno:
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sin(θ) = Opuesto / Hipotenusa |
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Función Coseno:
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cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa |
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Función Tangente:
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tan(θ) = Opuesto / Adyacente |
Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?
Usando este triángulo (las longitudes están redondeadas a un decimal):
sen(35°) = OpuestoHipotenusa = 2.84.9 = 0.57...
Coordenadas Cartesianas
Usando Coordenadas Cartesianas marcamos un punto en una gráfica por qué tan lejos a lo largo y qué tan lejos hacia arriba está:
El punto (12,5) está a 12 unidades a lo
largo (x), y 5 unidades hacia arriba (y).
Los Cuatro Cuadrantes
Cuando incluimos valores negativos, los ejes x e y dividen el espacio en 4 partes:
Cuadrantes I, II, III y IV
(Se enumeran en sentido antihorario)
- En el Cuadrante I tanto x como y son positivos,
- en el Cuadrante II x es negativa (y sigue siendo positivo),
- en el Cuadrante III tanto x como y son negativas, y
- en el Cuadrante IV x es positivo de nuevo, y y es negativa
Así:
| Cuadrante | X (horizontal) |
Y (vertical) |
Ejemplo |
|---|---|---|---|
| I | Positiva | Positiva | (3,2) |
| II | Negativa | Positiva | (−5,4) |
| III | Negativa | Negativa | (−2,−1) |
| IV | Positiva | Negativa | (4,−3) |
Ejemplo: El punto "C" (−2,−1) está a 2 unidades en la dirección negativa (izquierda), y 1 unidad hacia abajo (dirección negativa).
Como tanto x como y son negativos, ese punto está en el "Cuadrante III".
Ángulo de Referencia
Los ángulos pueden ser mayores de 90°.
Pero podemos "regresarlos" por debajo de 90° usando el eje x como referencia.
Piensa que "referencia" significa "referirse al eje x"
¡El método más sencillo es hacer un dibujo!
Ejemplo: 160º
Empieza en el eje x positivo y gira 160º.
Luego encuentra el ángulo hacia la parte más cercana del eje x,
en este caso 20º.
El ángulo de referencia para 160º es 20º.
Aquí vemos cuatro ejemplos con un ángulo de referencia de 30º:
En lugar de un dibujo, puedes usar estas reglas:
| Cuadrante | Ángulo de Referencia |
| I | θ |
| II | 180º − θ |
| III | θ − 180º |
| IV | 360º − θ |
Seno, Coseno y Tangente en los Cuatro Cuadrantes
Ahora miremos los detalles de un triángulo rectángulo de 30° en cada uno de los 4 cuadrantes.
En el Cuadrante I todo es normal, y el Seno, Coseno y Tangente son todos positivos:
Ejemplo: El seno, coseno y tangente de 30°
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Seno
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sen(30°) = 1 / 2 = 0.5
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Coseno
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cos(30°) = 1.732 / 2 =
0.866
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Tangente
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tan(30°) = 1 / 1.732 =
0.577
|
Pero en el Cuadrante II, la dirección x es negativa, por lo que el coseno y la tangente se vuelven negativos:
Ejemplo: El seno, coseno y tangente de 150°
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Seno
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sen(150°) = 1 / 2 =
0.5
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|
Coseno
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cos(150°) = −1.732
/ 2 = −0.866
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Tangente
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tan(150°) = 1 / −1.732
= −0.577
|
En el Cuadrante III, el seno y el coseno son negativos:
Ejemplo: El seno, coseno y tangente de 210°
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Seno
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sen(210°) = −1
/ 2 = −0.5
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Coseno
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cos(210°) = −1.732
/ 2 = −0.866
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Tangente
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tan(210°) = −1
/ −1.732 = 0.577
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Nota: La tangente es positiva porque dividir un negativo entre un negativo da como resultado un positivo.
En el Cuadrante IV, el seno y la tangente son negativos:
Ejemplo: El seno, coseno y tangente de 330°
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Seno
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sen(330°) = −1
/ 2 = −0.5
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Coseno
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cos(330°) = 1.732 / 2 =
0.866
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Tangente
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tan(330°) = −1
/ 1.732 = −0.577
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¡Hay un patrón! Mira cuándo el Seno, Coseno y Tangente son positivos...
- Los Todos son positivos en el Cuadrante I
- Solo el Seno es positivo en el Cuadrante II
- Solo la Tangente es positiva en el Cuadrante III
- Solo el Coseno es positivo en el Cuadrante IV
Esto se puede mostrar más fácilmente así:
Esta gráfica también muestra el patrón.
A mucha gente le gusta recordar las cuatro letras (en español sería T-S-T-C) con una frase como:
- Todos Son Tan Cool
Seno, Coseno y Tangente Inversos
¿Cuál es el Seno Inverso de 0.5?
sen-1(0.5) = ?
En otras palabras, cuando y es 0.5 en la gráfica de abajo, ¿cuál es el ángulo?
Hay muchos ángulos donde y=0.5
El problema es que una calculadora solo te dará uno de esos valores...
... pero siempre hay dos valores entre 0º y 360º
(e infinitos más allá):
| Primer valor | Segundo valor | |
| Seno | θ | 180º − θ |
| Coseno | θ | 360º − θ |
| Tangente | θ | θ + 180º |
¡Ahora podemos resolver ecuaciones para cualquier ángulo!
Ejemplo: Resolver sen θ = 0.5
Obtenemos la primera solución de la calculadora = sen-1(0.5) = 30º (está en el Cuadrante I).
La siguiente solución es 180º − 30º = 150º (Cuadrante II).
Ejemplo: Resolver cos θ = −0.85
Obtenemos la primera solución de la calculadora = cos-1(−0.85) = 148.2º (Cuadrante II).
La otra solución es 360º − 148.2º = 211.8º (Cuadrante III).
Es posible que necesitemos ajustar nuestro ángulo para que esté entre 0º y 360º sumando o restando 360º.
Ejemplo: Resolver tan θ = −1.3
Obtenemos la primera solución de la calculadora = tan-1(−1.3) = −52.4º.
Esto es menor que 0º, así que sumamos 360º: −52.4º + 360º = 307.6º (Cuadrante IV).
La otra solución es −52.4º + 180º = 127.6º (Cuadrante II).
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
