Funciones Trigonométricas Inversas
En breve:
Para un triángulo rectángulo:
La función seno sen toma el ángulo θ y nos da la razón opuestohipotenusa
La función seno inverso sen-1 toma la razón opuestohipotenusa y nos devuelve el ángulo θ
Y el coseno y la tangente siguen una idea similar.
Ejemplo (longitudes redondeadas a un decimal):
¡Y ahora los detalles!
El Seno, Coseno y Tangente se basan en un triángulo rectángulo
Son funciones muy similares... así que analizaremos la Función Seno y luego el Seno Inverso para aprender de qué se trata todo esto.
La Función Seno
El Seno del ángulo θ es:
- la longitud del lado Opuesto al ángulo θ
- dividida por la longitud de la Hipotenusa
O más simple:
sen(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Ejemplo: ¿Cuál es el seno de 35°?
Usando este triángulo (longitudes con un decimal):
sen(35°) = Opuesto / Hipotenusa
= 2.8/4.9
= 0.57...
La función seno nos ayuda a resolver cosas como esta:
Ejemplo: Usa la función seno para hallar "d"
Sabemos que:
- El ángulo que forma el cable con el lecho marino es de 39°
- La longitud del cable es de 30 m
Y queremos saber "d" (la distancia hacia abajo).
La profundidad "d" es 18.88 m
Función Seno Inverso
Pero a veces lo que necesitamos encontrar es el ángulo.
Aquí es donde entra el "Seno Inverso".
Responde a la pregunta: "¿qué ángulo tiene un seno igual a opuesto/hipotenusa?"
El símbolo del seno inverso es sen-1, o a veces arcosen.
Ejemplo: Hallar el ángulo "a"
Sabemos que:
- La distancia hacia abajo es de 18.88 m
- La longitud del cable es de 30 m
Y queremos conocer el ángulo "a"
¿Qué ángulo tiene un seno igual a 0.6293...?
El Seno Inverso nos lo dirá.
El ángulo "a" es 39.0°
¡Son como ir hacia adelante y hacia atrás!
- sen toma un ángulo y nos da la razón "opuesto/hipotenusa"
- sen-1 toma la razón "opuesto/hipotenusa" y nos devuelve el ángulo.
Ejemplo:
Calculadora
 |
En la calculadora, presiona una de las siguientes opciones (dependiendo de la marca de la calculadora): '2ndF sin' o 'shift sin'. |
En tu calculadora, intenta usar sin y luego sin-1 para ver qué sucede
¡Más de un ángulo!
El seno inverso solo nos muestra un ángulo... pero hay más ángulos que podrían funcionar.
Ejemplo: Aquí hay dos ángulos donde opuesto/hipotenusa = 0.5
De hecho, hay infinitos ángulos, porque podemos seguir sumando (o restando) 360°:
¡Recuerda esto, porque hay veces en que realmente necesitamos uno de los otros ángulos!
Resumen
El Seno del ángulo θ es:
sen(θ) = Opuesto / Hipotenusa
Y el Seno Inverso es:
sen-1 (Opuesto / Hipotenusa) = θ
¿Y qué pasa con "cos" y "tan"... ?
Exactamente la misma idea, pero con diferentes razones entre los lados.
Coseno
El Coseno del ángulo θ es:
cos(θ) = Adyacente / Hipotenusa
Y el Coseno Inverso es:
cos-1 (Adyacente / Hipotenusa) = θ
Ejemplo: Hallar el tamaño del ángulo a°
cos a° = Adyacente / Hipotenusa
cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333...
a° = cos-1 (0.8333...) = 33.6° (a 1 decimal)
Tangente
La Tangente del ángulo θ es:
tan(θ) = Opuesto / Adyacente
Así que la Tangente Inversa es:
tan-1 (Opuesto / Adyacente) = θ
Ejemplo: Hallar el tamaño del ángulo x°
tan x° = Opuesto / Adyacente
tan x° = 300/400 = 0.75
x° = tan-1 (0.75) = 36.9° (correcto a 1 decimal)
Otros Nombres
A veces sen-1 se llama asen o arcosen
Igualmente, cos-1 se llama acos o arcocos
Y tan-1 se llama atan o arcotan
Ejemplos:
- arcosen(y) es lo mismo que sen-1(y)
- atan(θ) es lo mismo que tan-1(θ)
- y así sucesivamente
Gráficas de Seno y Seno Inverso
Seno
Seno Inverso
¿Notaste algo en las gráficas?
- Se parecen bastante, ¿verdad?
- Pero el Seno Inverso no "sigue para siempre" como el Seno...
Aquí están el Seno y el Seno Inverso representados en la misma gráfica:
Seno y Seno Inverso
Son imágenes especulares (reflejadas sobre la diagonal). Inclina la cabeza para verlo mejor.
¿Pero por qué el Seno Inverso se corta arriba y abajo (los puntos no son realmente parte de la función)...?
Porque para ser una función solo puede
dar una respuesta cuando preguntamos "¿cuál es sen-1(x)?"
Pero vimos antes que hay infinitas respuestas, y la línea punteada en la gráfica lo demuestra.
Así que sí, existen infinitas respuestas...
...pero imagina que escribes 0.5 en tu calculadora, presionas sin-1 y obtienes una lista interminable de posibles respuestas:
Por eso:
- una función devuelve solo una respuesta
- nos corresponde a nosotros recordar que puede haber otras respuestas
Gráficas de Coseno y Coseno Inverso
Coseno
Coseno Inverso
Y aquí están el Coseno y el Coseno Inverso representados en la misma gráfica:
Coseno y Coseno Inverso
También son imágenes especulares sobre la diagonal. Y el Coseno Inverso también se corta.
Gráficas de Tangente y Tangente Inversa
Y aquí tienes la función tangente y la tangente inversa. También son reflejos sobre la diagonal.
Tangente
Tangente Inversa
Y aquí están juntas:
Tangente y Tangente Inversa