Qué es una función

Una función relaciona una entrada con una salida.

engranajes de la función

Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida.

Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.


  f(x)  

"f(x) = ... " es la forma clásica de escribir una función.
Y hay otras maneras, como verás.

Entrada, relación, salida

Veremos muchas maneras de pensar en las funciones, pero siempre hay tres partes principales:

Ejemplo: "Multiplicar por 2" es una función muy simple

Aquí están las tres partes:

Entrada Relación Salida
0 × 2 0
1 × 2 2
7 × 2 14
10 × 2 20
... ... ...

Para una entrada de 50, ¿cuál es la salida?

Algunos ejemplos de funciones

Pero no vamos a mirar funciones específicas...
... en su lugar vamos a mirar la idea general de una función.

Nombres

Primero, es útil darle un nombre a una función.

El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g" ... o hasta "mermelada" si quieres.

Pero usemos "f":

f(x) = x^2

Decimos "f de x es igual a x al cuadrado"

lo que entra en la función se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:

Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro

Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:

f(x) = x2 nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado.

 

Ejemplo: con f(x) = x2:

De hecho, podemos escribir f(4) = 16.

 

La "x" es sólo un marcador de posición.

No te preocupes demasiado por la "x", solo está ahí para mostrarnos a dónde va la entrada y qué le pasa.

¡Podría ser cualquier cosa!

Así que esta función:

f(x) = 1 - x + x2

es la misma función que:

La variable (x, q, A, etc.) está justo ahí para que sepamos dónde poner los valores:

f(2) = 1 - 2 + 22 = 3

 

A veces no hay nombre para la función

A veces una función no tiene nombre, y vemos algo como:

y = x2

Pero sigue habiendo:

Relacionar

Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!

En realidad, una función relaciona la entrada con la salida.

Decir que "f(4) = 16" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O también 4 → 16

árbol

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a:

a(edad) = edad × 20

Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

Aquí hay algunos valores de ejemplo:

edad a(edad) = edad× 20
0 0
1 20
3.2 64
15 300
... ...

 

¿Con qué tipo de cosas trabaja una función?

Los "números" parecen una respuesta clara, pero...


calculadora ... ¿qué números?

Por ejemplo, la función de la altura del árbol a(edad) = edad×20 no tiene sentido si la edad es menor que cero.
códigos ... también podrían ser letras ("A"→"B"), o códigos de identificación ("A6309"→"Acceso") o cosas más raras.

Así que tenemos que usar algo más general, y ahí es donde entran en juego los conjuntos:

varios números reales

Un conjunto es una colección de cosas, por ejemplo números.

Aquí tienes algunos ejemplos:

El conjunto de los números pares: {..., −4, −2, 0, 2, 4, ...}
Un conjunto de ropa: {"sombrero","camisa",...}
El conjunto de los números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Los múltiplos de 3 que son más pequeños que 10: {3, 6, 9}

Cada cosa individual en un conjunto (como "4" o "sombrero") es un miembro, o elemento.

Por lo tanto, una función toma elementos de un conjunto, y devuelve elementos de un conjunto.

Una función es especial

Pero una función tiene reglas especiales:

    Debe funcionar para cada valor de entrada posible
    Y sólo tiene una relación por cada valor de entrada

Esto se puede decir en una definición:

conjuntos X a Y

Definición formal de función

Una función relaciona cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de otro conjunto (puede ser el mismo conjunto).

 

¡Dos cosas importantes!

1.

"...cada elemento..." de "X" se relaciona con un elemento de "Y".

Decimos que la función cubre "X" (relaciona cada elemento de)

(Pero algunos elementos de la Y podrían no estar relacionados en absoluto, lo cual está bien.)

2.

"...exactamente un elemento..." significa que la función es univaluada. No devolverá 2 o más resultados para la misma entrada.

¡Así que "f(2) = 7 o 9" no vale!

"Uno a muchos" no está permitido, pero "muchos a uno" :

función   función
(uno a muchos)   (muchos a uno)
Esto NO está bien en una función   Pero esto está bien en una función

Cuando una relación no sigue esas dos reglas, entonces no es una función... sigue siendo una relación, pero no una función.

Ejemplo: La relación x → x2

función

También podría escribirse como una tabla:

X: x Y: x2
3 9
1 1
0 0
4 16
-4 16
... ...

Es una función, porque:
Así que sigue las reglas.

(Fíjate en cómo tanto el 4 y el -4 se relacionan con el 16, lo cual está permitido.)

Ejemplo: Esta relación no es una función:

función

Es una relación, pero no una función, por estas razones:
(Y el hecho de que el "6" de la Y no tenga ninguna relación no importa).

 

función no univaluada

La prueba de la línea vertical

En un gráfico, la idea de univaluada significa que ninguna línea vertical cruza más de una vez.

Si alguna cruzara más de una vez no sería una función.

Algunos tipos de funciones tienen reglas más estrictas, para saber más puedes leer Inyectiva, suprayectiva y biyectiva

Infinitamente muchos

Los ejemplos que he mostrado tienen solo unos pocos valores, pero las funciones suelen trabajar en conjuntos de infinitos elementos.

Ejemplo: y = x3

No podemos mostrar TODOS los valores, así que aquí hay algunos ejemplos:

X: x Y: x3
-2 -8
-0.1 -0.001
0 0
1.1 1.331
3 27
etc ... etc ...

 

Dominio, codominio y rango

En el dibujo de arriba

Tenemos una página especial sobre dominio, codominio y rango por si quieres saber más.

¡Muchos nombres!

Las funciones se han utilizado en las matemáticas durante mucho tiempo, y han surgido muchos nombres y formas diferentes de escribir las funciones.

Aquí hay algunos términos comunes con los que deberías familiarizarte:

Partes de una función

Ejemplo: z = 2u3:

Ejemplo: f(4) = 16:

Ejemplo: h(año) = 20 × año:

altura de un árbol

A menudo llamamos a una función "f(x)" cuando en realidad la función es realmente "f"

Pares ordenados

Y aquí hay otra forma de pensar en las funciones:

Puedes escribir las entradas y salidas de una función como "pares ordenados", como (4,16).

Se llaman pares ordenados porque la entrada siempre va primero y la salida después.

(entrada,salida)

Por lo que se ve así

( x,f(x) )

Ejemplo:

(4,16) significa que la función toma "4" y devuelve "16"

Conjunto de pares ordenados

Una función puede entonces definirse como un conjunto de pares ordenados:

Ejemplo: {(2,4), (3,5), (7,3)} es una función que dice:

"2 se relaciona con 4", "4 se relaciona con 5" y "7 se relaciona con 3".

También, fíjate en esto:

Pero la función debe ser univaluada, esto se puede decir

"si contiene (a, b) y (a, c), entonces b tiene que ser igual a c"

Es otra manera de decir que una entrada "a" no puede dar dos resultados diferentes.

Ejemplo: {(2,4), (2,5), (7,3)} no es una función porque {2,4} y {2,5} quieren decir que 2 estaría relacionado con 4 y 5.

O sea, no es función porque no es univaluada

 

coordenadas cartesianas interactivas

Un beneficio de los pares ordenados

¡Podemos graficarlos...

... porque también son coordenadas!

Así que un conjunto de coordenadas es también una función (si siguen las reglas anteriores, por supuesto)

 

Una función puede estar en pedazos

Podemos crear funciones que se comporten de manera diferente dependiendo del valor de entrada

Ejemplo: Una función con dos piezas:

función de parte entera   Aquí hay algunos valores de ejemplo:
x y
-3 5
-1 5
0 0
2 4
4 16
... ...

Lee más en Función definida a trozos.

Explícito vs. Implícito

Un último tema: los términos "explícito" e "implícito".

Explícito es cuando la función nos muestra cómo ir directamente de x a y, como:

y = x3 − 3

Cuando conocemos x, podemos encontrar y

Es decir, el estilo clásico y = f(x) con el que a menudo trabajamos.

Implícito es cuando no se da directamente como:

x2 − 3xy + y3 = 0

Cuando conocemos x, ¿cómo encontramos y?

Puede ser difícil (¡o imposible!) ir directamente de la x a la y.

"Implícito" viene de "implícito", en otras palabras, mostrado indirectamente.

Graficadores

Conclusión

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).