Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo
"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.
Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":
Veamos esto más de cerca:
Nunca tiene una "A" relacionada con más de una "B", así que uno a muchos no está permitido en una función (así que algo como "f(x) = 7 o 9" no es válido)
Pero más de una "A" puede apuntar a la misma "B" (muchos a uno está bien)
Así que muchos a uno no está bien (lo cual está bien para una función general).
Como también es una función, uno a muchos no es válido
Pero podemos tener una "B" sin una "A" correspondiente.
Inyectivo también se llama "Uno a uno"
Sobreyectivo significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).
No quedará ni una "B" fuera.
Biyectivo significa inyectivo y sobreyectivo a la vez.
Piensa en ello como un "emparejamiento perfecto" entre los conjuntos: cada uno tiene una pareja y nadie se queda fuera.
Así que hay una "correspondencia perfecta uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.
(Pero no te confundas con el término "Uno a Uno" que se usa para referirse a las funciones inyectivas).
¡Las funciones biyectivas tienen un inverso!
Si cada "A" va a una "B" única, y cada "B" tiene una "A"
correspondiente, entonces podemos ir hacia atrás y hacia delante sin
perdernos en el camino.
Lee funciones inversas para
saber más.
En una gráfica
Así que veamos algunos ejemplos para entender qué está pasando.Cuando A y B son subconjuntos de los números reales, podemos graficar la relación.
Tengamos A en el eje X y B en Y, y observemos nuestro primer ejemplo:
Falla en la "Prueba de la línea vertical" y por lo tanto no es una función. Pero sigue siendo una relación válida, así que no te enfades con ella.
Ahora, una función general puede ser así:
Una función general
Pero una "Función Inyectiva" es más estricta, y se ve así:
"Injectiva" (uno a uno)
De hecho podemos hacer una "Prueba de línea horizontal":
Para ser inyectiva, una Línea Horizontal nunca debe intersectar la curva en 2 o más puntos.
(Nota: Las funciones estrictamente crecientes (y estrictamente decrecientes) son inyectivas, puede que quieras leer sobre ellos para más detalles)
Entonces:
- Si pasa la prueba de la línea vertical es una función
- Si también pasa la prueba de la línea horizontal es una función inyectiva
Definiciones formales
Bien, prepárate para más detalles sobre todo esto:
Inyectiva
Una función f es inyectiva si y solo si, cuando f(x) = f(y), x = y.
Ejemplo: f(x) = x+5 del conjunto
de los números reales 
a es una función inyectiva.
¿Es cierto que siempre que f(x) = f(y), x = y
?
Imagina x=3, luego:
- f(x) = 8
Ahora, si digo que f(y) = 8, ¿cuál es el valor de y? Solo puede ser 3, así que x=y
Ejemplo: f(x) = x2
del conjunto de números reales a no es
una función inyectiva por este tipo de detalle:
- f(2) = 4 y
- f(-2) = 4
Esto va en contra de la definición f(x) = f(y), x = y, porque f(2) = f(-2) pero 2 ≠ -2
En otras palabras, hay dos valores de A que apuntan a un B.
PERO si lo hiciéramos partiendo del conjunto de números naturales 
a
entonces sí es injectiva, porque:
- f(2) = 4
- no hay f(-2), porque -2 no es un número natural
Sobreyectivo (o también "epiyectivo")
Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.
En términos simples: cada B tiene una A.
Ejemplo: la función f(x) = 2x
del conjunto de los números naturales al de los números pares no
negativos es sobreyectiva.
Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de
los números naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún
elemento de va al 3 por esta función.
Biyectiva
Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y
Alternativamente, f es biyectiva si hay una correspondencia uno a uno, es decir, es a la vez inyectiva y sobreyectiva.
Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.
Pero la misma función del conjunto de todos los números reales
no es biyectiva porque podríamos
tener, por ejemplo, ambos
- f(2)=4 y
- f(-2)=4
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
