Separación de Variables

La Separación de Variables es un método especial para resolver algunas ecuaciones diferenciales

Una Ecuación Diferencial es una ecuación con una función y una o más de sus derivadas:

dy/dx = 5xy
Ejemplo: una ecuación con la función y y su derivada dy dx  

¿Cuándo se puede usar?

Separación de Variables: dy/dx = 5xy se convierte en dy/y = 5x dx

La separación de variables se puede utilizar cuando:

se pueden mover todos los términos y (incluido dy) a un lado de la ecuación y

todos los términos x (incluido dx) al otro lado.

Método

Consiste en tres pasos:

Ejemplo: Resuelve esto (k es una constante):

  dy dx = ky

Paso 1 Separa las variables moviendo todos los términos y a un lado de la ecuación y todos los términos x al otro lado:

Multiplica ambos lados por dx: dy = ky dx
Divide ambos lados por y: dy y = k dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

Coloca los signos de integración: dy y = k dx
Integra el lado izquierdo: ln(y) + C = k dx
Integra el lado derecho:  ln(y) + C = kx + D

C es una constante de integración. Y usamos D para la otra, ya que es una constante diferente.

 

Paso 3 Simplifica:

Podemos combinar ambas constantes (a=D−C):  ln(y) = kx + a
e(ln(y)) = y , así que podemos usar una propiedad de  exponentes/logaritmos en ambos lados:y = ekx + a
Y además podemos separar ekx + a = ekx ea, así que:y = ekx ea
ea es solo una constante, así que la reemplazamos con c:y = cekx

La hemos resuelto:

y = cekx

Este es un tipo general de ecuación diferencial de primer orden que aparece en todo tipo de lugares inesperados en ejemplos del mundo real.

Usamos y y x, pero el mismo método funciona para otras letras como variables, como estas:

conejos

Ejemplo: ¡Conejos!

Cuantos más conejos adultos tengamos, más conejitos tendremos.

¡Luego esos conejitos crecerán y también tendrán bebés! La población crecerá cada vez más rápido.

Las partes importantes de esto son: La tasa de cambio en cualquier momento es igual a la tasa de crecimiento multiplicada por la población:

dN dt = rN

¡Pero oye! ¡Es lo mismo que la ecuación que acabamos de resolver! Solo tiene letras diferentes:

Entonces podemos saltar a la solución:

N = cert

 

Y aquí hay un ejemplo, la gráfica de N = 0.3e2t:

Crecimiento Exponencial
Crecimiento Exponencial

Hay otras ecuaciones que siguen este patrón, como la del interés compuesto continuamente.

Más Ejemplos

Bien, vamos a ver algunos ejemplos diferentes de separación de variables:

Ejemplo: Resuelve:

dydx = 1y

 

Paso 1 Separa las variables moviendo todos los términos y a un lado de la ecuación y todos los términos x al otro lado:

Multiplica ambos lados por dx:dy = (1/y) dx
Multiplica ambos lados por y: y dy = dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

Coloca los signos de integración: y dy = dx
Integra cada lado: (y2)/2 = x + C

Integramos ambos lados en un solo paso.

También usamos un atajo al usar solo una constante de integración C. Esto es perfectamente válido ya que podríamos tener +D en una, +E en la otra y simplemente decir que C = E−D.

 

Paso 3 Simplifica:

Multiplica ambos lados por 2: y2 = 2(x + C)
Raíz cuadrada en ambos lados:y = ±√(2(x + C))

Nota: Esto no es lo mismo que y = √(2x) + C, porque la C se agregó antes de sacar la raíz cuadrada. Esto sucede mucho con las ecuaciones diferenciales. No podemos simplemente agregar la C al final del proceso. Se agrega al hacer la integración.

La hemos solucionado:

y = ±√(2(x + C))

Un ejemplo más difícil:

Ejemplo: Resuelve:

dydx = 2xy1+x2

 

Paso 1 Separa las variables:

Multiplica ambos lados por dx, divide ambos lados por y:

1y dy = 2x1+x2dx

Paso 2 Integra ambos lados de la ecuación por separado:

1y dy = 2x1+x2dx

El lado izquierdo es un logaritmo simple, y el lado derecho se puede integrar mediante sustitución:

Sea u = 1 + x2, por lo que du = 2x dx:1y dy = 1udu
Integra:ln(y) = ln(u) + C
Luego hacemos C = ln(k):ln(y) = ln(u) + ln(k)
Así que tenemos:y = uk
Ahora sustituye de vuelta u = 1 + x2:y = k(1 + x2)

 

Paso 3 Simplifica:

Ya es tan simple como puede ser. La hemos solucionado:

y = k(1 + x2)

Un ejemplo aún más difícil: la famosa Ecuación de Verhulst

conejos

Ejemplo: ¡Otra vez conejos!

Recordemos nuestra Ecuación Diferencial de crecimiento poblacional:

dNdt = rN

 

Bueno, ese crecimiento no puede continuar para siempre, ya que pronto se quedarían sin alimentos disponibles.

Un señor de apellido Verhulst incluyó una constante k (la población máxima que la comida puede soportar) para obtener:

dNdt = rN(1−N/k)

La Ecuación de Verhulst

¿Se puede solucionar esto?

Sí, con la ayuda de un truco...

 

Paso 1 Separa las variables:

Multiplica ambos lados por dt: dN = rN(1−N/k) dt
Divide ambos lados por N(1-N/k):1N(1−N/k)dN = r dt

 

Paso 2 Integra:

1N(1−N/k)dN = r dt

Hmmm ... el lado izquierdo parece difícil de integrar. De hecho, se puede hacer con un pequeño truco de Fracciones Parciales ... la reacomodamos así:

Empezamos con:1N(1−N/k)
Se multiplica arriba y abajo por k:kN(k−N)
Ahora aquí está el truco: suma N y −N en la parte superior:N+k−NN(k−N)
Y separa en dos fracciones:NN(k−N) + k−NN(k−N)
Simplifica cada fracción:1k−N + 1N

Ahora es mucho más fácil de resolver. Podemos integrar cada término por separado, así:

La ecuación completa ahora es:1k−NdN + 1NdN = r dt
Integramos:−ln(k−N) + ln(N) = rt + C

(¿Por qué eso se volvió menos ln(k−N)? Piénsalo por un segundo y recuerda que estamos integrando con respecto a N).

 

Paso 3 Simplifica:

Multiplica todo por menos 1:ln(k−N) − ln(N) = −rt − C
Combina los ln():ln((k−N)/N) = −rt − C
Usa la propiedad de exponentes/logaritmos en ambos lados:(k−N)/N = e−rt−C
Separa los exponentes de e:(k−N)/N = e−rt e−C
e−C es una constante, podemos reemplazarla con A:(k−N)/N = Ae−rt

 

¡Nos estamos acercando! Solo un poco más de álgebra para obtener N por separado:

Separa la fracción del lado izquierdo:(k/N)−1 = Ae−rt
Suma 1 a ambos lados:k/N = 1 + Ae−rt
Divide ambos lados entre k:1/N = (1 + Ae−rt)/k
Toma los recíprocos en ambos lados:N = k/(1 + Ae−rt)

Y tenemos la solución:

N = k1 + Ae−rt

 

Aquí hay un ejemplo, la gráfica de 401 + 5e−2t

verhulst
Empieza a subir exponencialmente
luego se aplana a medida que llega a k=40

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).