Probabilidad Condicional

Cómo trabajar con eventos dependientes

¡La vida está llena de eventos al azar! Necesitas tener una intuición y comprensión de estos eventos para que seas una persona inteligente y exitosa.

Eventos independientes

Los eventos pueden ser "Independientes", lo que significa que cada evento no se ve afectado por ningún otro evento.

moneda cara y cruz

Ejemplo: lanzar una moneda

Cada lanzamiento de una moneda es una cosa perfectamente aislada.

La forma en que cayó en el pasado no afectará el lanzamiento actual.

La posibilidad es simplemente 1 en 2, o 50%, al igual que en CUALQUIER lanzamiento de la moneda.

Por lo tanto, cada lanzamiento es un evento independiente.

Eventos dependientes

Pero los eventos también pueden ser "dependientes" ... lo que significa que pueden verse afectados por eventos anteriores ...
probabilidad canicas

Ejemplo: canicas en una bolsa

2 canicas azules y 3 rojas están en una bolsa.

¿Cuáles son las posibilidades de obtener una canica azul?

Las posibilidades son 2 en 5

Pero después de sacar una, ¡las posibilidades cambian!

Entonces la próxima vez:

probabilidad canicas
Si previamente sacamos una canica roja, entonces las posibilidades de sacar una canica azul después son 2 en 4

probabilidad canicas
Si previamente sacamos una canica azul, entonces las posibilidades de sacar una canica azul después son 1 en 4

Esto se debe a que estamos eliminando las canicas de la bolsa.

Entonces, el próximo evento depende de lo que sucedió en el evento anterior, y se llama dependiente.

Reemplazo

Nota: si reemplazamos las canicas en la bolsa cada vez, entonces las posibilidades no cambian y los eventos son independientes:

Los eventos dependientes son lo que estamos viendo aquí.

Diagrama de Árbol

Un Diagrama de Árbol es una manera maravillosa de imaginar lo que está sucediendo, así que construyamos uno para nuestro ejemplo de canicas.

Hay una probabilidad de 2/5 de sacar una canica azul y una probabilidad de 3/5 de roja:

probabilidad canicas diagrama árbol 1

Podemos ir un paso más allá y ver qué sucede cuando elegimos una segunda canica:

probabilidad canicas diagrama árbol 2

Si primero se seleccionó una canica azul, ahora hay una probabilidad de 1/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 3/4 de obtener una canica roja.

Si primero se seleccionó una canica roja, ahora hay una probabilidad de 2/4 de obtener una canica azul y una probabilidad de 2/4 de obtener una canica roja.
Ahora podemos responder preguntas como "¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 canicas azules?"

Respuesta: primero hay una probabilidad de 2/5 seguida de una probabilidad de 1/4:

probabilidad canicas diagrama árbol 3

¿Viste cómo multiplicamos las probabilidades? Y obtuvimos 1/10 como resultado.

La probabilidad de sacar 2 canicas azules es 1/10

Notación

¡Amamos una buena notación en matemáticas! Una buena notación nos puede permitir usar el poder del álgebra para jugar con las ideas. Así que aquí está la notación de probabilidad:

P(A) significa "Probabilidad del Evento A"

En nuestro ejemplo de canicas, el evento A es "obtener primero una canica azul" con una probabilidad de 2/5:

P(A) = 2/5

Y el Evento B es "obtener una segunda canica azul" ... pero para eso tenemos 2 opciones:

Entonces tenemos que decir cuál queremos y usar el símbolo "|" que significa "dado":

P(B|A) significa "Probabilidad del Evento B dado que ocurre A"

En otras palabras, el evento A ya ha sucedido, ¿cuál es la probabilidad del evento B?

P(B|A) también se conoce como "probabilidad condicional" de B dado A.

Y en nuestro caso:

P(B|A) = 1/4

Entonces la probabilidad de obtener 2 canicas azules es:

probabilidad canicas diagrama árbol 4

Y la escribimos como

P( A y B ) = P(A) por P(B dado A)

"Probabilidad de evento A y evento B es igual a
la probabilidad del evento A multiplicado por la probabilidad del evento B dado el evento A"

 

Hagamos el siguiente ejemplo usando solo la notación:

Ejemplo: sacar 2 reyes de un mazo

El evento A es sacar un Rey en la primera carta, y el evento B es sacar un Rey en la segunda.

Para la primera carta, la probabilidad de sacar un Rey es 4 de 52 (hay 4 Reyes en un mazo de 52 cartas):

P(A) = 4/52

Pero después de eliminar un Rey del mazo, la probabilidad de que la segunda carta sea un Rey es menos probable (solo quedan 3 de las 51 cartas restantes):

P(B|A) = 3/51

Así que:

P(A y B) = P(A) x P(B|A) = (4/52) x (3/51) = 12/2652 = 1/221

Entonces, la probabilidad de obtener 2 Reyes en las primeras dos cartas es de 1 en 221, o aproximadamente 0.5%

Encontrar datos ocultos

Usando Álgebra también podemos "cambiar el enfoque" de la fórmula, así:

Empieza con:   P(A y B) = P(A) x P(B|A)
Voltea los lados:   P(A) x P(B|A) = P(A y B)
Divide entre P(A):   P(B|A) = P(A y B) / P(A)

Y tenemos otra fórmula útil:

P(B dado A) = P( A y B ) / P(A)

"La probabilidad del evento B dado el evento A es igual
La probabilidad del evento A y el evento B dividida por la probabilidad del evento A"

Ejemplo: helados

Al 70% de tus amigos les gusta el chocolate, y al 35% les gusta el chocolate Y les gusta la fresa.

¿A qué porcentaje de los que les gusta el chocolate también les gusta la fresa?

P(Fresa|Chocolate) = P(Chocolate y Fresa) / P(Chocolate)

0.35 / 0.7 = 50%

Al 50% de tus amigos que les gusta el chocolate también les gusta la fresa.

 

equipos de fútbol

Un ejemplo completo: un partido de fútbol

Estás camino a jugar fútbol y quieres ser el portero, pero eso depende de quién sea el entrenador hoy:
Sam es entrenador más a menudo ... alrededor de 6 de cada 10 juegos (una probabilidad de 0.6).

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que seas un portero hoy?

Hagamos un Diagrama de Árbol. Primero mostramos los dos posibles entrenadores: Sam o Alex:

Diagrama de Árbol: Sam, Alex

La probabilidad de que sea Sam es 0.6, por lo que la probabilidad de Alex debe ser 0.4 (en conjunto, la probabilidad es 1)

Ahora, si el entrenador es Sam, hay 0.5 probabilidad de que seas portero (y 0.5 de no serlo):

Diagrama de Árbol: Sam, Alex 2

Ssi el entrenador es Alex, hay 0.3 probabilidad de que seas portero (y 0.7 de no serlo):

Diagrama de Árbol: Sam, Alex 3

El diagrama de árbol está completo, ahora calculemos las probabilidades generales. Recuerda esto:

P(A y B) = P(A) x P(B|A)

Aquí está cómo hacerlo para la rama "Sam, sí":

Diagrama de Árbol: Sam, Alex 4

(Cuando multiplicamos la probabilidad de 0.6 de que Sam sea entrenador por la probabilidad de 0.5 de que Sam te permita ser portero, terminamos con una probabilidad de 0.3).

¡Pero aún no hemos terminado! No hemos incluido a Alex como entrenador:

Diagrama de Árbol: Sam, Alex 5

Una probabilidad de 0.4 de Alex como entrenador, seguida de una probabilidad de 0.3 da 0.12

Y las dos ramas "Sí" del árbol juntas suman:

0.3 + 0.12 = 0.42 probabilidad de que seas portero hoy

(Eso es una probabilidad del 42%)

Comprobación

Un último paso: completa los cálculos y asegúrate de que se sumen 1:

Diagrama de Árbol: Sam, Alex 6

0.3 + 0.3 + 0.12 + 0.28 = 1

Sí, sumados dan 1, por lo que todo parece en orden.

Amigos y números aleatorios

Aquí hay otro ejemplo bastante diferente de probabilidad condicional.

4 amigos (Alex, Brenda, Cristian y Diana) cada uno elige un número aleatorio entre 1 y 5. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno de ellos elija el mismo número?

Vamos analizando la pregunta añadiendo a un amigo a la vez

 

Primero, ¿cuál es la probabilidad de que Alex y Brenda tengan el mismo número?

Brenda compara su número con el número de Alex. Hay una probabilidad de 1 en 5 de una coincidencia.

Mediante un Diagrama de Árbol:

eventos dependientes 1

Nota: "Sí" y "No" en conjunto suman 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)

 

Ahora, incluyamos a Cristian ...

Pero ahora hay dos casos a considerar:
Y obtenemos esto:

eventos dependientes 2

Para la línea superior (Alex y Brenda coincidieron) ya tenemos una coincidencia (una probabilidad de 1/5).

Pero para "Alex y Brenda no coincidieron" ahora hay una probabilidad de 2/5 de que Cristian coincida (porque Cristian puede igualar su número con el de Alex o el de Brenda).

Y podemos calcular la probabilidad combinada multiplicando las posibilidades que se necesitaron para llegar allí:

Siguiendo el camino "No, Sí" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguido de una probabilidad de 2/5 de Sí:

(4/5) × (2/5) = 8/25

Siguiendo el camino "No, No" ... hay una probabilidad de 4/5 de No, seguida de una probabilidad de 3/5 de No:

(4/5) × (3/5) = 12/25

También ten en cuenta que cuando sumamos todas las posibilidades, aún obtenemos 1 (una buena comprobación de que no nos hemos equivocado):

(5/25) + (8/25) + (12/25) = 25/25 = 1

 

¿Qué pasa cuando incluimos a Diana?

Es la misma idea, solo más extendida:

eventos dependientes 3

OK, eso son los 4 amigos, y las probabilidades de "Sí" juntas son 101/125:

Respuesta: 101/125

 

Pero aquí hay algo interesante ... si seguimos el camino "No" podemos omitir todos los otros cálculos y hacer nuestra vida más fácil:

eventos dependientes 4

Las posibilidades de no coincidir son:

(4/5) × (3/5) × (2/5) = 24/125

Así que las posibilidades de coincidir son:

1 - (24/125) = 101/125

(¡Y realmente no necesitábamos un diagrama de árbol para eso!)

 

Y ese es un truco famoso en probabilidad:

A menudo es más fácil resolver el caso "No"
(y restar de 1 para el caso "Sí")

(Esta idea se muestra con más detalle en Cumpleaños Repetidos).

 

¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).