Teorema del Residuo y
Teorema del Factor
O: cómo evitar la división larga polinómica cuando se encuentran factores
¿Recuerdas cómo hacer la división en aritmética?
"7 dividido por 2 es igual a 3 con un residuo de 1"
Cada parte de la división tiene nombre:
(Nota: al residuo también se le llama resto)
Y puede reescribirse como una suma, así:
Polinomios
Bueno, también podemos dividir polinomios.
f(x) ÷ d(x) = q(x) con residuo r(x)
Pero es mejor escribirlo como una suma como ésta:
Como en este ejemplo usando división larga de polinomios:
Ejemplo: 2x2−5x−1 dividido por x−3
- f(x) es 2x2−5x−1
- d(x) es x−3
Después de dividir obtenemos la respuesta 2x+1, pero hay un residuo igual a 2.
- q(x) es 2x+1
- r(x) es 2
En la forma f(x) = d(x)·q(x) + r(x), podemos escribir la respuesta como:
2x2−5x−1 = (x−3)(2x+1) + 2
Pero necesitas saber una cosa más:
El grado de r(x) siempre es menor que el de d(x)
Digamos que dividimos por un polinomio de grado 1 (como "x−3"), el residuo tendrá grado 0 (en otras palabras, una constante, como "4").
Usaremos esa idea en el "Teorema del residuo":
Teorema del residuo
Cuando dividimos f(x) por el polinomio simple x−c obtenemos:
f(x) = (x−c)·q(x) + r(x)
x−c es grado 1, así que r(x) debe ser de grado 0, por lo que es solo una constante r
f(x) = (x−c)·q(x) + r
Ahora mira lo que pasa cuando tenemos x igual a c:
Finalmente, tenemos lo siguiente:
Teorema del Residuo:
Cuando dividimos un polinomio f(x) entre x−c, el residuo es f(c)
Para encontrar el residuo después de dividir por x-c no necesitamos hacer ninguna división:
Solo calculamos f(c).
Veamos eso en la práctica:
Ejemplo: El residuo después de dividir 2x2−5x−1 entre x−3
(Nuestro ejemplo de arriba)No necesitamos dividir por (x−3) ... tan solo calculemos f(3):
2(3)2−5(3)−1 = 2x9−5x3−1
= 18−15−1
= 2
¡No necesitábamos hacer división larga en absoluto!
Ejemplo: El residuo después de dividir 2x2−5x−1 entre x−5
Mismo ejemplo que el anterior, pero esta vez dividimos por "x−5"
"c" es 5, así que evaluemos f(5):
2(5)2−5(5)−1 = 2x25−5x5−1
= 50−25−1
= 24
El residuo es 24
De nuevo, no necesitamos hacer división larga.
El teorema del factor
Ahora...
¿Qué pasa si calculamos f(c) y es 0?
... eso significa que el resto es 0, y...
... (x−c) debe ser un factor del polinomio
Vemos esto al dividir números enteros. Por ejemplo 60 ÷ 20 = 3 sin resto. Por lo que 20 debe ser un factor de 60.
Ejemplo: x2−3x−4
f(4) = (4)2−3(4)−4 = 16−12−4 = 0
por lo tanto (x−4) debe ser un factor de x2−3x−4
Y entonces tenemos:
El Teorema del Factor:
Cuando f(c)=0 entonces x−c es un factor de f(x)
Y al revés, también:
Cuando x−c es un factor de f(x) entonces f(c)=0
¿Por qué es útil esto?
Saber que x−c es un factor es lo mismo que saber que c es una raíz (y viceversa).
El factor "x−c" y la raíz "c" son la misma cosa.
Si conoces uno puedes conocer el otro.
Por un lado, significa que podemos verificar rápidamente si (x−c) es un factor del polinomio.
Ejemplo: Encuentra los factores de 2x3−x2−7x+2
El polinomio es de grado 3, y podría ser difícil de resolver. Así que vamos a trazar la gráfica primero:
La curva cruza el eje x en tres puntos, y uno de ellos podría estar en 2. Podemos verificar fácilmente:
f(2) = 2(2)3−(2)2−7(2)+2
= 16−4−14+2
= 0
¡Sí! f(2)=0, entonces hemos encontrado una raíz y un factor.
Por lo tanto, (x−2) debe ser un factor de 2x3−x2−7x+2
¿Qué tal dónde cruza cerca de −1.8?
f(−1.8) = 2(−1.8)3−(−1.8)2−7(−1.8)+2
= −11.664−3.24+12.6+2
= −0.304
Pero al menos sabemos (x−2) es un factor, así que usemos la división larga de polinomios:
x−2)2x3− x2−7x+2
2x3−4x2
3x2−7x
3x2−6x
−x+2
−x+2
0
Como se esperaba, el resto es cero.
Mejor aún, nos quedamos con la ecuación cuadrática 2x2+3x−1 la cual es fácil de resolver.
Sus raíces son −1.78... y 0.28..., así que el resultado final es:
2x3−x2−7x+2 = (x−2)(x+1.78...)(x−0.28...)
Pudimos resolver un polinomio difícil.
Resumen
El Teorema del Residuo:
- Cuando dividimos un polinomio f(x) por x−c el residuo es f(c)
El Teorema del Factor:
- Cuando f(c)=0 entonces x−c es un factor de f(x)
- Cuando x−c es un factor de f(x) entonces f(c)=0
¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).
