Transformación de funciones
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Al igual que en las transformaciones en geometría, podemos mover y redimensionar las gráficas de funciones. |
Comencemos con una función, en este caso es f(x) = x2, pero podría ser cualquier otra:
f(x) = x2
Aquí hay algunas cosas simples que podemos hacer para moverla o escalarla en la gráfica:
Podemos moverla hacia arriba o hacia abajo sumando una constante al valor de y:
g(x) = x2 + C
Nota: para mover la curva hacia abajo, usamos un valor negativo para C.
- C > 0 la mueve hacia arriba
- C < 0 la mueve hacia abajo
Podemos moverla hacia la izquierda o hacia la derecha sumando una constante al valor de x:
g(x) = (x+C)2
Sumar C mueve la función hacia la izquierda (la dirección negativa).
¿Por qué? Bueno, imagina que heredarás una fortuna cuando tu edad=25. Si eso cambia a (edad+4)=25, lo obtendrás cuando tengas 21. Sumar 4 hizo que sucediera antes.
- C > 0 la mueve hacia la izquierda
- C < 0 la mueve hacia la derecha
PERO debemos sumar C siempre que aparezca x en la función (estamos sustituyendo x+C por x).
Ejemplo: la función v(x) = x3 - x2 + 4x
Para mover C espacios a la izquierda, suma C en todos los lugares donde aparezca x:
w(x) = (x + C)3 − (x + C)2 + 4(x + C)
Una forma fácil de recordar lo que le sucede a la gráfica cuando agregamos una constante:
suma a y para mover hacia arriba
suma a x para mover a la izquierda
Podemos estirarla o comprimirla en la dirección y multiplicando toda la función por una constante.
g(x) = 0.35(x2)
- C > 1 la extiende/estira
- 0 < C < 1 la comprime
Podemos estirarla o comprimirla en la dirección x multiplicando x por una constante.
g(x) = (2x)2
- C > 1 la comprime
- 0 < C < 1 la extiende/estira
Ten en cuenta que (a diferencia de la dirección y), los valores más grandes provocan más compresión.
Podemos darle la vuelta multiplicando toda la función por −1:
g(x) = −(x2)
Esto también se llama reflexión sobre el eje x (el eje donde y=0)
Podemos combinar un valor negativo con una escala:
Ejemplo: multiplicar por −2 la pondrá boca abajo Y la estirará en la dirección y.
Podemos voltearla de izquierda a derecha multiplicando el valor x por −1:
g(x) = (−x)2
¡Realmente la voltea de izquierda a derecha! Pero no puedes verlo porque x2 es simétrica respecto al eje y. Así que aquí hay otro ejemplo usando √(x):
g(x) = √(−x)
Esto también se llama reflexión sobre el eje y (el eje donde x=0)
Resumen
| y = f(x) + C |
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| y = f(x + C) |
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| y = Cf(x) |
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| y = f(Cx) |
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| y = −f(x) |
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| y = f(−x) |
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Ejemplos
Ejemplo: la función g(x) = 1/x
Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:
Ejemplo: la función v(x) = x3 − 4x
Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:
= 2x3 − 8x
= 27x3 − 12x
¡Todo en uno!
Podemos hacer toda la transformación de una sola vez usando esto:
a es estiramiento/compresión vertical
- |a| > 1 estira
- |a| < 1 comprime
- a < 0 voltea de arriba a abajo
b es estiramiento/compresión horizontal
- |b| > 1 comprime
- |b| < 1 estira
- b < 0 voltea de izquierda a derecha
c es
desplazamiento horizontal
- c < 0 desplaza a la derecha
- c > 0 desplaza a la izquierda
d es
desplazamiento vertical
- d > 0 desplaza hacia arriba
- d < 0 desplaza hacia abajo
Ejemplo: 2√(x+1)+1
a=2, c=1, d=1
Entonces toma la función raíz cuadrada, y luego- La/extiende estira en un factor de 2 en la dirección y
- La desplaza a la izquierda 1 unidad, y
- La desplaza hacia arriba 1 unidad
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
