Propiedades de los polígonos regulares

Polígono

Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.

Regular

Un "polígono regular" tiene todos los lados iguales y todos los ángulos iguales. Si no, es irregular.

Pentágono regular Pentágono irregular


Ángulo interior

El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula:

(n-2) × 180° / n

Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:

(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°

Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°


Ángulo exterior

Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°.

Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior

El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°

El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es 180°-120° = 60°



Diagonales

Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados).

El número de diagonales es n(n - 3) / 2.

Ejemplos:

  • un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales
  • un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales

(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)


Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema

"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "

Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:

La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono.

La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio.

El radio de la circunferencia circunscrita es también el radio del polígono.

El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.

Fórmulas

Si tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad, tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante:

(Nota: los ángulos son en radianes, no en grados)

El triángulo pequeño es rectángulo así que podemos usar seno, coseno y tangente para ver las relaciones entre el lado, el radio, el apotema y "n":

sin(π/n) = (Lado/2) / Radio Lado = 2 × Radio × sin(π/n)
cos(π/n) = Apotema / Radio Apotema = Radio × cos(π/n)
tan(π/n) = (Lado/2) / Apotema Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Hay muchas más relaciones como estas (casi todas son "reordenamientos"), pero con estas nos vale por ahora.

Área

Ahora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!

El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:

Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)

Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:

Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Así que: Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n))
    = ½ × Apotema2 × tan(π/n)

Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:

Área del polígono = n × Apotema2 × tan(π/n)

¡La verdad es que es una fórmula muy simple!

Otras fórmulas del área

Si no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el radio y el lado:

Área del polígono = ½ × n × Radio2 × sin(2 × π/n)

Área del polígono = ¼ × n × Lado2 / tan(π/n)

Tabla de valores

Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":

Nombre Lados
(n)
Figura Ángulo interior Radio Lado Apotema Área
Triángulo
(o trígono)
3 60° 1 1.732...
(√3)
0.5 1.299...
(¾√3)
Cuadrilátero
(o tetrágono)
4 90° 1 1.414...
(√2)
0.707...
(1/√2)
2
Pentágono 5 108° 1 1.176... 0.809... 2.378...
Hexágono 6 120° 1 1 0.866...
(½√3)
2.598...
((3/2)√3)
Heptágono
(o septágono)
7 128.571° 1 0.868... 0.901... 2.736...
Octágono 8 135° 1 0.765... 0.924... 2.828...
(2√2)
...              
Pentacontágono 50   172.8° 1 0.126...
0.998...
3.133...

Gráfico

Y este es un gráfico de la tabla, con el número de lados ("n") de 3 a 30.

Fíjate en que cuando "n" crece, el apotema tiende a 1 (igual al radio) y el área tiende a π = 3.1416..., como una circunferencia.

¿A qué tiende el lado?

 

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