Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Aquí veremos un método especial para resolver "Ecuaciones Diferenciales Homogéneas"
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Una Ecuación Diferencial
de Primer Orden es Homogénea cuando puede expresarse en esta
forma:
dy dx
= F( y x
)
La podemos resolver usando Separación
de Variables pero antes necesitamos crear una nueva variable v
= y x
v = y x
que es lo mismo que y = vx
Lo cual se puede simplificar así: dy
dx = v + x dv
dx
Si usamos y = vx y dy dx
= v + x dv dx
podemos resolver la Ecuación Diferencial.
Un ejemplo mostrará cómo se hacen todos los pasos:
Ejemplo: Resuelve dy dx
= x2 + y2xy
¿Podemos ponerla en la forma F ( y x)
?
Comienza con: x2 + y2 xy
Separa los términos: x2 xy
+ y2 xy
Simplifica: x y + y x
Recíproco del primer término:( y x
)−1 + y x
Sí, tenemos una función de (y/x).
Manos a la obra:
Comienza con: dy dx = ( y x )−1
+ y x
y = vx y
dydx = v + x
dvdx:v
+ x dv dx
= v−1 + v
Resta v de ambos lados:x dv dx
= v−1
Ahora usa Separación de
Variables:
Separa las variables:v dv = 1 x
dx
Pon los signos de integración:∫v dv = ∫ 1 x dx
Integra: v2 2
= ln(x) + C
Haz C = ln(k): v2 2
= ln(x) + ln(k)
Combina los logaritmos: v2 2
= ln(kx)
Simplifica:v
= ±√(2 ln(kx))
Sustituye de vuelta v = y x
Sustituye v =
y x : y x = ±√(2
ln(kx))
Simplifica:y
= ±x √(2 ln(kx))
Hemos encontrado la solución.
La parte positiva se ve así:
Otro ejemplo:
Ejemplo: Resuelve dy dx
= y(x−y) x2
¿Podemos ponerla en la forma F ( y x)
?
Comienza con: y(x−y) x2
Separa los términos: xy x2
− y2 x2
Simplifica: y x − ( y x )2
¡Sí! Manos a la obra:
Comienza con: dy dx = y x − ( y x )2
y = vx y
dy dx = v +
x dvdx v + x dv dx
= v − v2
Resta v de ambos lados:x dv dx
= −v2
Ahora usa Separación de
Variables:
Separa las variables:− 1 v2
dv = 1 x
dx
Pon los signos de integración:∫−
1 v2 dv = ∫ 1 x
dx
Integra: 1 v = ln(x)
+ C
Haz C = ln(k): 1 v
= ln(x) + ln(k)
Combina los logaritmos: 1 v
= ln(kx)
Simplifica:v
= 1 ln(kx)
Sustituye de vuelta v = y x
Sustituye v =
y x : y x = 1 ln(kx)
Simplifica:y
= x ln(kx)
Hemos encontrado la solución.
Aquí hay algunos valores de muestra para k:
Un último ejemplo:
Ejemplo: Resuelve dy dx
= x−y x+y
¿Podemos ponerla en la forma F ( y x)
?
Comienza con: x−y x+y
Divide todo entre x: x/x−y/x x/x+y/x
Simplifica: 1−y/x 1+y/x
¡Sí! Manos a la obra:
Comienza con: dy dx = 1−y/x 1+y/x
y = vx y
dy dx = v +
x dvdx v + x dv dx
= 1−v 1+v
Resta v de ambos lados:x dv dx
= 1−v 1+v
− v
Luego:x dv dx = 1−v 1+v − v+v2 1+v
Simplifica:x dv dx = 1−2v−v2 1+v
Ahora usa Separación de
Variables:
Separa las variables: 1+v 1−2v−v2
dv = 1 x
dx
Pon los signos de integración:∫
1+v 1−2v−v2 dv =
∫ 1 x
dx
Integra:− 1 2
ln(1−2v−v2) = ln(x) + C
Haz C = ln(k):− 1 2
ln(1−2v−v2) = ln(x) + ln(k)
Combina y resuelve los logaritmos:(1−2v−v2)−½ = kx
Eleva al cuadrado y toma el
recíproco:1−2v−v2 =
1 k2x2
Sustituye de vuelta v = y x
Sustituye v =
y x :1−2(
y x )−(
y x )2
= 1 k2x2
Multiplica todo por x2:x2−2xy−y2 =
1 k2
Ya casi lo tenemos... Sería bueno despejar y
Podemos intentar factorizar x2−2xy−y2
pero antes debemos reacomodar un poco:
Cambio de signos:y2+2xy−x2
= − 1 k2
Reemplaza −
1 k2 por c:y2+2xy−x2 = c
Suma 2x2 a ambos lados:y2+2xy+x2 = 2x2+c
Factoriza:(y+x)2
= 2x2+c
Raíz cuadrada:y+x
= ±√(2x2+c)
Resta x de ambos lados:y = ±√(2x2+c)−
x
Hemos encontrado la solución.
La parte positiva se ve así:
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este
tema! (Nota: están en inglés).
