Resolviendo Ecuaciones

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x 2 = 4

Lo que la ecuación dice: lo que está a la izquierda (x − 2) es igual que lo que está en la derecha (4)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

¿Qué es una solución?

Una solución es un valor que podemos colocar en lugar de una variable (como x) que hace que la ecuación sea verdadera.


Ejemplo: x − 2 = 4

Cuando colocamos el 6 en lugar de la x obtenemos:

6 − 2 = 4

lo cual es verdadero

Así, x = 6 es una solución.

¿Qué hay de otros valores de x ?

En este caso x = 6 es la única solución.

Tal vez te gustaría practicar resolver ecuaciones de forma animada.

Más de una solución

Puede haber más de una solución.

Ejemplo: (x−3)(x−2) = 0

Cuando x es 3 se tiene:

(3−3)(3−2) = 0 × 1 = 0

lo cual es verdad

Y cuando x es 2 tenemos:

(2−3)(2−2) = (−1) × 0 = 0

lo cual también es verdad

Por lo que las soluciones son

x = 3, o x = 2

Cuando reunimos todas las soluciones, se denomina Conjunto de Soluciones.

El conjunto de soluciones anterior es: {2, 3}

¡Soluciones en todas partes!

Algunas ecuaciones son verdaderas para todos los valores permitidos y se llaman Identidades

Ejemplo: sen(−θ) = −sen(θ) es una de las Identidades Trigonométricas

Probemos con θ = 30°:

sen(−30°) = −0.5 y

−sen(30°) = −0.5

Así que es verdad para θ = 30°

Probemos ahora con θ = 90°:

sen(−90°) = −1 y

−sen(90°) = −1

Así que también es verdad para θ = 90°

¿Es verdad para todos los valores de θ? ¡Prueba algunos valores por ti mismo!

Cómo resolver una ecuación

No hay una "forma perfecta" para resolver todas las ecuaciones.

Un objetivo útil

Pero a menudo tenemos éxito cuando nuestro objetivo es terminar con:

x = algo

En otras palabras, queremos mover todo, excepto "x" (o cualquier nombre que tenga la variable) al lado derecho.

Ejemplo: Resuelve 3x−6 = 9

Empieza con:3x−6 = 9
Suma 6 de ambos lados:3x = 9+6
Divide entre 3:x = (9+6)/3

Ahora tenemos x = algo,

y un cálculo rápido revela que x = 5

Como un "puzzle" (acertijo)

De hecho, resolver una ecuación es como resolver un acertijo. Y al igual que los acertijos, hay cosas que podemos (y no podemos) hacer.

Aquí hay algunas cosas que podemos hacer:

Ejemplo: Resuelve √(x/2) = 3

Empieza con:√(x/2) = 3
Eleva al cuadrado ambos lados:x/2 = 32
Calcula 32 = 9:x/2 = 9
Multiplica ambos lados por 2:x = 18

Y cuantos más "trucos" y técnicas aprendas, te volverás más ágil.

Ecuaciones Especiales

Hay formas especiales de resolver algunos tipos de ecuaciones. Aprende cómo ...

Comprueba tus soluciones

Siempre debes verificar que tu "solución" realmente es una solución.

Cómo comprobarlo

Toma las soluciones y colócalas en la ecuación original para ver si realmente funcionan.

Ejemplo: encuentra x:

2xx − 3 + 3 = 6x − 3     (x≠3)

Hemos dicho que x≠3 para evitar dividir entre cero.

Multipliquemos todo por (x − 3):

2x + 3(x−3) = 6

Traigamos el 6 al lado izquierdo:

2x + 3(x−3) − 6 = 0

Desarrollemos y encontremos la solución:

2x + 3x − 9 − 6 = 0

5x − 15 = 0

5(x − 3) = 0

x − 3 = 0

Esto se resuelve si x=3

Verifiquemos:

2 × 3 3 − 3 + 3  =   6 3 − 3

¡Un momento!
¡Eso significa dividir por cero!

Y de todos modos, dijimos en la parte superior que x≠3, así que  ...

x = 3 en realidad no funciona, entonces:

¡No hay solución!

Eso fue interesante ... pensamos que habíamos encontrado una solución, pero cuando volvimos a mirar la pregunta, descubrimos que no estaba permitida.

Esto nos da una lección moral:

"Resolver" solo nos da posibles soluciones, ¡deben verificarse!

Tips


¡Intenta resolver las siguientes preguntas sobre este tema! (Nota: están en inglés).