Razón de oro

La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la izquierda) es un número especial que vale aproximadamente 1.618

Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.

La idea

Si divides una línea en dos partes de manera que:

la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga

entonces tienes la razón de oro.

Adivinándola

Sólo hay un valor que hace que a/b sea igual a (a+b)/a. Probemos un poco a ver si podemos descubrirlo:

Probamos a=7 y b=3, entonces a+b=10:
  7/3 = 2.333..., Pero 10/7 = 1.429..., así que no funciona
   
Probamos ahora a=6 y b=4, entonces a+b=10:
  6/4 = 1.5, pero 10/6 = 1.666..., ¡más cerca pero todavía no!
   
Probemos a=6.18 y b=3.82, entonces a+b=10:
  6.18/3.82 = 1.6178..., y 10/6.18 = 1.6181..., ¡estamos muy cerca!

De hecho el valor exacto es:

1.61803398874989484820... (continúa sin repetirse)

Las cifras siguen sin repetirse. De hecho se sabe que la razón de oro es un número irracional, y te hablaré sobre eso más adelante.

Calcularlo

Puedes calcularlo tú mismo empezando por cualquier número y siguiendo estos pasos:

  • A) divide 1 entre tu número (1/número)
  • B) suma 1
  • C) ese es tu nuevo número, empieza otra vez desde A

Con una calculadora, sólo pulsa "1/x", "+", "1", "=", una y otra vez. Yo empecé con 2 y saqué esto:

Número 1/número Suma 1
2 1/2=0.5 0.5+1=1.5
1.5 1/1.5 = 0.666... 0.666... + 1 = 1.666...
1.666... 1/1.666... = 0.6 0.6 + 1 = 1.6
1.6 1/1.6 = 0.625 0.625 + 1 = 1.625
1.625 1/1.625 = 0.6154... 0.6154... + 1 = 1.6154...
1.6154...    

¡Se va acercando más y más!

Pero llevaría mucho tiempo acercarnos de verdad, hay mejores maneras y se pueden calcular muy rápidamente miles de cifras.

Dibujarlo

Hay una manera de dibujar un rectángulo con la razón de oro:

  • Dibuja un cuadrado (de lado "1")
  • Pon un punto en la mitad de un lado
  • Dibuja una línea desde ese punto a una esquina contraria (medirá √5/2)
  • Gira esa línea hasta que vaya en la dirección del lado del cuadrado

Entonces puedes extender el cuadrado a un rectángulo con la razón de oro.

La fórmula

Mirando el rectángulo que acabamos de dibujar, puedes ver que tiene una fórmula sencilla. Si un lado mide 1, el otro lado mide:

La raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2.236068, así que la razón de oro es aproximadamente (1+2.236068)/2 = 3.236068/2 = 1.618034. Es una manera muy fácil de calcularlo cuando lo necesites.

Belleza

Muchos artistas y arquitectos creen que la razón de oro da las formás más agradables y bellas.

Este rectángulo se ha hecho usando la razón de oro, parece un típico marco de un cuadro, ¿no?

Muchos edificios y obras de arte usan la razón de oro,

como el Partenón en Grecia.

Sucesión de Fibonacci

Aquí tienes una sorpresa. Si tomas dos números de Fibonacci consecutivos, su proporción está muy cerca de la razón de oro. De hecho, cuanto más grande sean los números de Fibonacci, más cerca del valor exacto.

Probemos algunos:

A
B
  B/A
2
3
  1.5
3
5
  1.666666666...
5
8
  1.6
8
13
  1.625
...
...
  ...
144
233
  1.618055556...
233
377
  1.618025751...
...
...
  ...

El más irracional...

La razón de oro es el número más irracional. Este es el porqué...

Una de las propiedades especiales de la razón de oro es que se puede escribir en términos de sí mismo, así:
  (con números: 1.61803... = 1 + 1/1.61803...)
   
Esto se puede expandir en una fracción que no se acaba nunca (llamada "fracción continua"):

O sea, encaja perfectamente entre fracciones simples.

Otros números irracionales están bastante cerca de números racionales (por ejemplo Pi = 3.141592654... está cerca de 22/7 = 3.1428571...)

Otros nombres

La razón de oro también se llama sección aúrea, media de oro, número de oro, proporción divina, sección divina, proporión aúrea...

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