Razón de oro
La razón de oro (el símbolo es la letra griega "phi" de la izquierda) es un número especial que vale aproximadamente 1.618
Aparece muchas veces en geometría, arte, arquitectura y otras áreas.
La idea
|
Encontramos la proporción áurea cuando dividimos una línea en dos partes tal que: la parte larga dividida entre la corta
es igual que
el total dividido entre la parte larga
|
Pruébalo tú mismo (use el control deslizante):
Belleza
Este rectángulo se ha hecho usando la razón de oro, parece un típico marco de un cuadro, ¿no?
Muchos artistas y arquitectos creen que la razón de oro produce las formas más agradables y bellas.
¿Tú crees que es el "rectángulo más
bonito"?
Tal vez sí o tal vez no, ¡eso depende de ti!
Muchos edificios y obras de arte usan la razón de oro, como el Partenón en Grecia, pero no se sabe realmente si fue diseñado de esa manera.
El valor exacto
La razón de oro es igual a:
1.61803398874989484820... (etc.)
Los dígitos continúan, sin patrón. De hecho, se sabe que la razón de oro es un número irracional, y te contaré más adelante.
Fórmula
Vimos arriba que la razón de oro tiene esta propiedad:
ab = a + ba
Podemos dividir la fracción de la derecha así:
ab = aa + ba
abes la razón de oro φ, aa=1 y ba=1φ, lo cual nos da:
φ = 1 + 1φ
Probémoslo usando solo unos pocos dígitos de precisión:
Con más dígitos seríamos más precisos.
Calcularla
Puedes usar esa fórmula para intentar calcular φ por tu cuenta.
Primero adivina su valor, luego haz este cálculo una y otra vez:
- A) divide 1 entre tu número (1/número)
- B) suma 1
- C) ese es tu nuevo número, empieza otra vez desde A
Con una calculadora, solo pulsa "1/x", "+", "1", "=", una y otra vez.
Yo empecé con 2 y saqué esto:
| número | 1/número | 1/número + 1 |
|---|---|---|
| 2 | 1/2 = 0.5 | 0.5 + 1 = 1.5 |
| 1.5 | 1/1.5 = 0.666... | 0.666... + 1 = 1.666... |
| 1.666... | 1/1.666... = 0.6 | 0.6 + 1 = 1.6 |
| 1.6 | 1/1.6 = 0.625 | 0.625 + 1 = 1.625 |
| 1.625 | 1/1.625 = 0.6153... | 0.6154... + 1 = 1.6153... |
| 1.6153... |
Entre más avancemos, se acerca más y más a φ.
Pero llevaría mucho tiempo acercarnos de verdad, hay mejores maneras y se pueden calcular muy rápidamente miles de cifras.
Dibujarla
Hay una manera de dibujar un rectángulo con la razón de oro:
- Dibuja un cuadrado (de lado "1")
- Pon un punto en la mitad de un lado
- Dibuja una línea desde ese punto a una esquina contraria
- Gira esa línea hasta que vaya en la dirección del lado del cuadrado
- Entonces puedes extender el cuadrado a un rectángulo con la razón de oro.
(¿De dónde salió √52 ? Mira la nota al final*)
Una manera rápida de calcularla
Ese rectángulo de arriba nos muestra una fórmula simple para la razón de oro.Cuando el lado corto es 1, el lado largo es 12+√52, entonces:
φ = 12 + √52
La raíz cuadrada de 5 es aproximadamente 2.236068, por lo que la razón de oro es aproximadamente 0.5 + 2.236068 / 2 = 1.618034. Esta es una forma fácil de calcularla cuando la necesites.
Dato interesante: la razón de oro también es igual a 2 × sin(54°), ¡consigue una calculadora y compruébalo!
Sucesión de Fibonacci
Existe una relación especial entre la razón de oro y la La sucesión de Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
(El siguiente número se encuentra sumando los dos números anteriores.)
Y aquí hay una sorpresa: cuando tomamos dos números de Fibonacci sucesivos (uno tras otro), su proporción es muy cercana a la razón de oro.De hecho, cuanto mayor sea el par de números de Fibonacci, más cercana será la aproximación. Probemos algunos:
|
A
|
B
|
B/A | |
|---|---|---|---|
|
2
|
3
|
1.5 | |
|
3
|
5
|
1.666666666... | |
|
5
|
8
|
1.6 | |
|
8
|
13
|
1.625 | |
|
...
|
...
|
... | |
|
144
|
233
|
1.618055556... | |
|
233
|
377
|
1.618025751... | |
|
...
|
...
|
... |
No tenemos que empezar con 2 y 3, aquí elegí al azar 192 y 16 (y obtuve la secuencia 192, 16, 208, 224, 432, 656, 1088, 1744, 2832, 4576, 7408, 11984, 19392, 31376, ...):
|
A
|
B
|
B / A
|
|
|---|---|---|---|
|
192
|
16
|
0.08333333... | |
|
16
|
208
|
13 | |
|
208
|
224
|
1.07692308... | |
|
224
|
432
|
1.92857143... | |
|
...
|
...
|
... | |
|
7408
|
11984
|
1.61771058... | |
|
11984
|
19392
|
1.61815754... | |
|
...
|
...
|
... |
El más irracional...
La razón de oro es el número más irracional. Este es el porqué...
| Una de las propiedades especiales de la razón de oro
es que se puede escribir en términos de sí misma, así: |
|
 |
 |
| (con números: 1.61803... = 1 + 1/1.61803...) | |
| Esto se puede expandir en una fracción que no se
acaba nunca (llamada "fracción continua"): |
|
|
 |
O sea, encaja perfectamente entre fracciones simples.
Nota: Otros números irracionales están bastante cerca de números racionales (por ejemplo Pi = 3.141592654... está cerca de 22/7 = 3.1428571...)
Pentagrama
¡No, brujería no! El pentagrama es más famoso como símbolo mágico o sagrado. Y tiene la razón de oro en su diseño:
- a/b = 1.618...
- b/c = 1.618...
- c/d = 1.618...
Lee más sobre el Pentagrama.
Otros nombres
La razón de oro también se llama sección áurea, media de oro, número de oro, proporción divina, sección divina, proporción áurea...
Notas para los que quieren saber más
* ¿De dónde salió √5/2??
Con ayuda de Pitágoras:
c2 = a2 + b2
c2 = (12)2 + 12
c2 = 14 + 1
c2 = 54
c = √(54)
c = √52
Resolver usando la fórmula cuadrática
Podemos encontrar el valor de φ de esta forma:
Lo cual es una ecuación cuadrática y por lo tanto podemos usar la fórmula cuadrática:
φ = −b ± √(b2 − 4ac) 2a
Usando a=1, b=−1 y c=−1 obtenemos:
φ = 1 ± √(1 + 4) 2
Y la solución positiva se simplifica a:
φ = 12 + √52
¡Ta-da!
Triángulo de Kepler
Eso inspiró a un hombre llamado Johannes Kepler a crear este triángulo:
Es genial porque:
- Junta a Pitágoras y a φ
- la proporción de sus lados es 1 : √φ : φ, lo cual forma una sucesión geométrica.
¡Refuerza tu aprendizaje resolviendo los siguientes retos sobre este tema! (Nota: están en inglés).
