Actividad: Investigando sólidos

Hay tres partes en esta actividad:

1. Hacer modelos de los sólidos
2. Investigar la fórmula de Euler
3. Estimar áreas de superficie y volúmenes

1. Hacer modelos

Harás modelos de los siguientes sólidos. Todos son poliedros y los primeros cinco de estos sólidos se conocen como Sólidos Platónicos.

Puedes hacer modelos de estos sólidos usando las plantillas a continuación. Puedes imprimirlas en papel o, mejor aún, usar un cartoncillo o cartulina, si tu impresora lo permite. De lo contrario, pega la plantilla en el cartoncillo antes de comenzar a cortar (verás por qué quiero que uses el cartoncillo más adelante).

Sólido	Plantilla	Detalles
	Tetraedro	Tetraedro
	Cubo	Cubo
	Octaedro	Octaedro
	Dodecaedro	Dodecaedro
	Icosaedro	Icosaedro
	Pirámide cuadrada	Pirámide cuadrada
	Pirámide pentagonal	Pirámide pentagonal

Todo lo que tienes que hacer es recortar las plantillas (incluidas las pestañas), doblar a lo largo de las líneas, aplicar pegamento a las pestañas y pegarlas debajo de la cara adyacente del sólido. Se vuelve un poco complicado cuando tienes que pegar la última pestaña, así que tómate tu tiempo y ten cuidado.

Para obtener más consejos sobre cómo hacer los modelos, ve a Tips de construcción.

¡Diviértete!

2. Investigación de la fórmula de Euler

Una vez que hayas hecho todos tus modelos, cuenta la cantidad de Vértices, aristas y caras en cada sólido. Tendrás que encontrar alguna forma de marcarlos a medida que los cuentas, para que no te pierdas ninguno o los cuentes más de una vez. Entonces, mientras los cuentas (usando un rotulador) marca cada vértice con un color, cada borde con un segundo color y cada cara con un tercer color. Cuando hayas terminado de contar, completa tus respuestas en la siguiente tabla:

Sólido	C Número de caras	V Número de vértices	A Número de aristas	C + V − A
Cubo
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Pirámide cuadrada
Pirámide pentagonal

Completa la última columna de la tabla calculando el valor de C + V − A en cada caso.

¿Qué encontraste?

Deberías haber obtenido la misma respuesta en cada caso.

Este resultado se conoce como fórmula de Euler.
Se aplica a todos los poliedros.

Estimación del área de superficie

Si observas las fórmulas para volúmenes y áreas de superficie (dadas en las páginas en la columna "detalles" de la primera tabla anterior), verás que algunas de ellas son bastante complicadas. Por ejemplo, para el dodecaedro las fórmulas son:

¡Guau! Se ven bastante complicadas, ¿no?
Entonces, veamos cómo podríamos estimar las áreas de superficie y los volúmenes usando nuestras plantillas o modelos:

Áreas de superficie

Para estimar las áreas de superficie, podríamos simplemente usar una cuadrícula y contar cuadritos.

Pero es más fácil hacer esto usando la plantilla, ¿no? ¿Puedes ver por qué? ¿Y puedes ver que el área de la superficie del sólido es exactamente igual al área de la plantilla? Sin embargo, un detalle: no debemos incluir las pestañas. No son parte de la superficie, ¿verdad?

Usa el mismo método para estimar el área de superficie de cada uno de tus sólidos.

Completa la siguiente tabla:

Sólido	Estimación de la superficie (cm2)
Cubo
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Pirámide cuadrada
Pirámide pentagonal

 

Estimación de volúmenes

En la actividad Descubre capacidad, usaste una taza medidora para medir las capacidades (o volúmenes) de diferentes tazas o recipientes.

Bueno, no es una buena idea intentar llenar nuestros sólidos con leche o agua, ¿verdad?

Pero podríamos usar arena o sal.

Si no tienes arena en tu casa, compra un paquete de sal de 500 g.
¡Pero no uses la sal para cocinar después de que hayas terminado con ella!

También consigue un pequeño embudo para ayudarte a verter la sal. Luego solo tienes que hacer un pequeño agujero en uno de los vértices de tu modelo y verter la sal hasta llenarlo.

Tal vez ahora puedas ver por qué te dije que usaras cartoncillo para hacer los sólidos. Si usaste papel, las caras del sólido pierden su forma y no obtendrás una buena respuesta.

Aquí hay un ejemplo para el icosaedro:

Luego, vierte la sal de tu sólido en una taza medidora. El vaso medidor se puede calibrar en ml, pero recuerda que una capacidad de 1 ml es exactamente lo mismo que un volumen de 1 cm³.

Asegúrate de que la superficie de la sal esté pareja. Luego, lee el volumen en la taza medidora con la mayor precisión posible.

Cuando hice este experimento, encontré que la cantidad de sal era de 199 cm³, por lo que el volumen de mi icosaedro también se estimó en 199 cm³.

Haz esto para cada uno de tus sólidos (puedes reutilizar la sal).

Completa la siguiente tabla:

Sólido	Estimación del volumen (cm3)
Cubo
Tetraedro
Octaedro
Icosaedro
Dodecaedro
Pirámide cuadrada
Pirámide pentagonal