Circunferencia unidad
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La "circunferencia unidad" es simplemente una circunferencia de radio 1.
Como es tan simple, es perfecta para aprender a hablar de longitudes y ángulos.
El centro se pone donde se cruzan el eje x y el eje y, así que nos queda este dibujo tan sencillo. |
Seno, coseno y tangente
Como el radio es 1, puedes medir directamente el seno, el coseno y la tangente.
¿Qué pasa cuando el ángulo θ es 0°?
¿Qué pasa cuando θ es 90°?
- cos=0, sin=1, pero tan no está definida
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¡Prueba tú!
¡Inténtalo tú ahora! Arrastra la esquina alrededor de la circunferencia para ver los distintos ángulos (en radianes) y cómo cambian el seno, coseno y tangente.
Fíjate en que los "lados" pueden ser positivos o negativos según las reglas de las coordenadas cartesianas. Esto hace que el seno, coseno y tangente también vayan alternando entre positivo y negativo. |
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Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados:
x2 + y2 = 12
Pero 12 es 1, así que:
x2 + y2 = 1 (la ecuación de la circunferencia unidad)
Además, como x=cos e y=sin, tenemos:
cos2 + sin2 = 1 (una "identidad" bastante útil) |
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Calcular 30°, 45° y 60°
Vamos a usar esto para calcular las longitudes de x e y (que son iguales a cos y sin cuando el radio es 1) para los ángulos 30°, 45° y 60°:
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45 grados
Para los 45 grados, x e y son iguales, así que x2 + y2 = 12 se convierte en 2(x2)=1, así que x = √(1/2) = 0.7071...
Por tanto, para 45°:
- cos = √(½) = 0.7071...
- sin= √(½) = 0.7071...
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60 grados
Toma un triángulo equilatero (todos los lados iguales y todos los ángulos de 60°) y córtalo por la mitad de arriba a abajo. Entonces el lado "x" es ½, y la "y" es:
(½)2 + y2 = 12,
queda: ¼ + y2 = 1,
así que: y = √(1-¼) = √(¾)
Entonces, para 60°:
- cos = ½ = 0.5
- sin = √(¾) = 0.8660...
30 grados
Y 30° sale dando la vuelta a 60°:
- cos = √(¾) = 0.8660...
- sin = ½ = 0.5
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Patrón
Como ½ = √(¼), resulta que hay un patrón bonito:
| Ángulo |
Sin |
Cos |
Tan=Sin/Cos |
| 30° |
√(¼) |
√(¾) |
1/√3 |
| 45° |
√(½) |
√(½) |
1 |
| 60° |
√(¾) |
√(¼) |
√3 |
...¡esto te puede ayudar a aprendértelos!
Juntando todo
Ahora, te enseñamos todos estos ángulos, llevados a todos los cuadrantes. Sólo hay que tener cuidado con los signos (más o menos) según sean las coordenadas cartesianas:
Raíz cuadrada de ½ y ¾
He usado √(½) y √(¾) porque son fáciles de recordar, pero a lo mejor prefieres los valores "simplificados" √(2)/2 y √(3)/2.
Usa lo que te sea más fácil. |
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Radianes
Esta es la circunferencia unidad en radianes.
Como ves hemos puesto los valores de sin y cos para muchas fracciones simples de pi. |
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