Circunferencia unidad

La "circunferencia unidad" es simplemente una circunferencia de radio 1.

Como es tan simple, es perfecta para aprender a hablar de longitudes y ángulos.

El centro se pone donde se cruzan el eje x y el eje y, así que nos queda este dibujo tan sencillo.

Seno, coseno y tangente

Como el radio es 1, puedes medir directamente el seno, el coseno y la tangente.

¿Qué pasa cuando el ángulo θ es 0°?

cos=1, sin=0 y tan=0

¿Qué pasa cuando θ es 90°?

cos=0, sin=1, pero tan no está definida

¡Prueba tú!

¡Inténtalo tú ahora! Arrastra la esquina alrededor de la circunferencia para ver los distintos ángulos (en radianes) y cómo cambian el seno, coseno y tangente.

Fíjate en que los "lados" pueden ser positivos o negativos según las reglas de las coordenadas cartesianas. Esto hace que el seno, coseno y tangente también vayan alternando entre positivo y negativo.

Pitágoras

El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, el cuadrado del lado largo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados:

x² + y² = 1²

Pero 1² es 1, así que:

x² + y² = 1 (la ecuación de la circunferencia unidad)

Además, como x=cos e y=sin, tenemos:

cos² + sin² = 1 (una "identidad" bastante útil)

Calcular 30°, 45° y 60°

Vamos a usar esto para calcular las longitudes de x e y (que son iguales a cos y sin cuando el radio es 1) para los ángulos 30°, 45° y 60°:

45 grados

Para los 45 grados, x e y son iguales, así que x² + y² = 1² se convierte en 2(x²)=1, así que x = √(1/2) = 0.7071...

Por tanto, para 45°:

cos = √(½) = 0.7071...
sin= √(½) = 0.7071...

60 grados

Toma un triángulo equilatero (todos los lados iguales y todos los ángulos de 60°) y córtalo por la mitad de arriba a abajo. Entonces el lado "x" es ½, y la "y" es:

(½)² + y² = 1²,
queda: ¼ + y² = 1,
así que: y = √(1-¼) = √(¾)

Entonces, para 60°:

cos = ½ = 0.5
sin = √(¾) = 0.8660...

30 grados

Y 30° sale dando la vuelta a 60°:

cos = √(¾) = 0.8660...
sin = ½ = 0.5

Patrón

Como ½ = √(¼), resulta que hay un patrón bonito:

Ángulo	Sin	Cos	Tan=Sin/Cos
30°	√(¼)	√(¾)	1/√3
45°	√(½)	√(½)	1
60°	√(¾)	√(¼)	√3

...¡esto te puede ayudar a aprendértelos!

Juntando todo

Ahora, te enseñamos todos estos ángulos, llevados a todos los cuadrantes. Sólo hay que tener cuidado con los signos (más o menos) según sean las coordenadas cartesianas:

Raíz cuadrada de ½ y ¾

He usado √(½) y √(¾) porque son fáciles de recordar, pero a lo mejor prefieres los valores "simplificados" √(2)/2 y √(3)/2.

Usa lo que te sea más fácil.

Radianes

Esta es la circunferencia unidad en radianes.

Como ves hemos puesto los valores de sin y cos para muchas fracciones simples de pi.