Números algebraicos

La mayoría de los números que usamos todos los días son números algebraicos.
Pero algunos no, tales como π (pi) y e (número de Euler).

Número algebraico

Un número algebraico es: cualquier número que es solución de un polinomio no nulo con coeficientes racionales.

Por decirlo más fácilmente, si tienes un polinomio como (por ejemplo):

2x³ − 5x + 39 = 0

Entonces x es algebraico.

Porque se cumplen todas las condiciones:

2x³ − 5x + 39 es un polinomio distinto de cero (un polinomio que no es solo "0")
x es una raíz (es decir, x da el resultado de cero para la función 2x³ − 5x + 39)
los coeficientes (los números 2, −5 y 39) son racionales

Busquemos un número algebraico:

Ejemplo: 2x³ − 5x + 39 = 0

Necesitamos encontrar el valor de x tal que 2x³ − 5x + 39 es igual a 0

Bueno, x = −3 funciona porque 2(−3)³ − 5(−3) + 39 = −54+15+39 = 0

Por lo que −3 es un número algebraico

Probemos con otro polinomio (recuerda: los coeficientes deben ser racionales).

Ejemplo: 2x³ − ¼ = 0

Los coeficientes son 2 y −¼, ambos números racionales.

Y x = 0.5, porque 2(0.5)³ − ¼ = 0

Por lo que 0.5 es un número algebraico

De hecho:

Todos los números enteros y racionales son algebraicos,
pero un número irracional puede o no ser algebraico

¿No es algebraico? ¡Entonces es trascendental!

Cuando un número no es algebraico, se llama trascendental.

Se sabe que π (pi) y e (número de Euler) no son algebraicos, y por eso son trascendentales.

Pero en realidad puede ser muy difícil demostrar que un número es trascendental.

Más

Investiguemos algunos números más

Ejemplo: ¿√2 (la raíz cuadrada de 2) es algebraico o trascendente?

√2 es una solución a x² − 2 = 0, entonces es algebraico (y no trascendental).

Ejemplo: la unidad de los números imaginarios i

Bueno, sabemos que i² = −1, por lo que i es la solución a:

x² + 1 = 0

Cuando x = i se tiene −1 + 1 = 0

Entonces el número imaginario i es un número algebraico

Ejemplo: φ (la Razón de Oro)

φ es la solución a x² − x − 1 = 0

Por lo que φ es un número algebraico

Ejemplo: x² + 2x + 10 = 0

Las soluciones de esta ecuación cuadrática son números complejos:

x = −1 + 3i
x = −1 − 3i

(Intenta ponerlos en la ecuación y recuerda que i² = −1)

Así que ambos son números algebraicos

Parece que cada número es algebraico:

Sabemos que todos los enteros lo son
Y todos los números racionales lo son
Y también √2
Al igual que el número imaginario i, y también lo es φ

PERO, curiosamente, casi todos los números reales y complejos no son algebraicos y, por lo tanto, son trascendentales.

¿Por qué? Bueno, imagina un número real aleatorio donde cada dígito se elige al azar, y obtienes algo como 7.17493614485672 ... (continúa infinitamente). Es casi seguro que será trascendental.

Pero en la vida cotidiana usamos números cuidadosamente elegidos como 6 o 3.5 o 0.001, por lo que la mayoría de los números con los que tratamos (excepto π y e) son algebraicos, pero cualquier número real o complejo verdaderamente elegido al azar es casi seguro que será trascendental.

Propiedades

Todos los números algebraicos son computables y por tanto definibles.

El conjunto de números algebraicos es numerable. En pocas palabras, el conjunto de los números naturales es "contable", y se pueden ordenar los números algebraicos en una correspondencia 1 a 1 con números enteros, por lo que también son contables.